1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。53导数在研究函数中的应用53.1函数的单调性必备知识自主学习导思1.函数的单调性与导函数值的正负有关系吗？如果有，有何种关系？2函数图象的变化趋势与导数值的大小有何关系？1.函数f(x)的单调性与导函数f(x)正负之间的关系在某个区间(a，b)上的函数yf(x)：f(x)的正负f(x)的单调性f(x)0函数f(x)在(a，b)上单调递增f(x)0是f(x)在(a，b)上为单调增函数的什么条件？提示：充分不必要条件，如f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)3x20.(
2、3)若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f(x)满足什么条件？提示：f(x)0(或f(x)0).2函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一个函数f在某一范围内导数的绝对值为，则函数值的变化函数的图象越大在这一范围内变化得较快比较“陡峭”(向上或向下)越小在这一范围内变化得较慢比较“平缓”某一范围内函数图象比较陡峭，是否导数值就较大？提示：不是导数值有正有负，当函数在某一区间为增函数，且图象较为陡峭时，其切线斜率即导数值越来越大；当函数在某一区间为减函数，且图象较为陡峭时，其切线斜率即导数值为负值，其绝对值越来越大，而导数值越来越小1辨析记忆(对的打“”，错的
3、打“”).(1)函数f(x)在区间(a，b)上都有f(x)0，则函数f(x)在这个区间上单调递减()提示：函数f(x)在区间(a，b)上都有f(x)0，所以函数f(x)在这个区间上单调递减，故正确(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”()提示：切线的“陡峭”程度与|f(x)|的大小有关，故错误(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大()提示：函数在某个区间上变化的快慢，和函数导数的绝对值大小一致(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f(x)0，不影响函数在此区间的单调性()提示：若f(x)0(0)，则函数f(x)在区间内单调递增(减)，故f(x)0
4、不影响函数单调性2(教材练习改编)函数f(x)exx的单调递增区间为_【解析】因为f(x)exx，所以f(x)ex1.由f(x)0得，ex10，即x0.所以f(x)的单调递增区间为(0，).答案：(0，)3求函数yx24xa的单调区间【解析】y2x4，令y0，得x2；令y0，得x2，所以yx24xa的增区间为(2，)，减区间为(，2).关键能力合作学习类型一导数与函数图象的关系(数学抽象、数学直观)1函数yf(x)的图象如图所示，则()A.f(3)0 Bf(3)0C.f(3)0 Df(3)的正负不确定【解析】选B.由图象可知，函数f(x)在(1，5)上单调递减，则在(1，5)上有f(x)0，故
5、f(3)0(f(x)0，解得的区间即为所求【解析】y2xexx2ex(x22x)ex，由y0，ex0得x22x0，即x0或x2.答案：(，2)，(0，)在本例中条件不变，求其单调递减区间【解析】y2xexx2ex(x22x)ex，由y0得x22x0，即2x0，函数f(x)在区间(0，)上为增函数；当a0时，由g(x)0得x或x(舍去).当x时，g(x)0，即f(x)0，即f(x)0.所以当a0时，函数f(x)在区间上为减函数，在区间上为增函数综上，当a0时，函数f(x)的单调递增区间是(0，)；当a0时，函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是.含有参数的函数单调性问题的处理方法(1)在判
6、断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f(x)的符号，否则会产生错误(2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了1函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0，3)C(1，4) D(2，)【解析】选D.因为f(x)ex(x3)ex(x2)ex，由f(x)0得(x2)ex0，所以x2.所以f(x)的单调递增区间为(2，).2讨论函数f(x)ax2x(a1)ln x(a0)的单调性【解析】函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ax1
7、.(1)当a0时，f(x)，由f(x)0，得x1，由f(x)0，得0x1.所以f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，)内为增函数(2)当a0时，f(x)，因为a0，所以0.由f(x)0，得x1，由f(x)0，得0x1.所以f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，)内为增函数综上所述，当a0时，f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，)内为增函数类型三与单调性有关的参数问题(数学运算、逻辑推理)【典例】已知函数f(x)x3ax1为单调递增函数，求实数a的取值范围四步内容理解题意条件：f(x)x3ax1f(x)为单调增函数结论：求实数a的取值范围思路探求f(x)为单调递增函数f(x)0恒成立分离
8、参数求a的范围书写表达由已知得f(x)3x2a，因为f(x)在(，)上是单调递增函数，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立，因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，所以a0.题后反思若函数f(x)在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f(x)0(或f(x)0).已知函数yf(x)在(a，b)上的单调性，求参数的范围的方法(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0
9、”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解；(3)分离参数法由f(x)0或f(x)0将所求参数分离到一侧，另一侧为不含参数的函数只要求出其最值，即可求参数范围1已知函数f(x)x3ax2x1在(，)上是减函数，则实数a的取值范围是()A.， B，C.(，)，(，) D(，)【解析】选B.f(x)3x22ax10在(，)上恒成立，由4a2120得a.2若函数ya(x3x)的单调递减区间为，则a的取值范围是()A.a0 B1a1 D0a1【解析】选A.因为y3a3a，当x时，0.课堂检测素养达标1函数yx42x25的单调递减区间为()A(，1，0，1 B1，0，1，)C.1，1 D(，1)，1，)【解析】选A.因为y4x34x4x(x1)(x1)，所以令y0，则有x(x1)(x1)0，可得x1或0x0，解得x1，故f(x)的单调递增区间是(1，).答案：(1，)5求函数f(x)3x22ln x的单调区间【解析】函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)6x.令f(x)0，即0，因为x0，所以x，所以函数f(x)的单调递增区间是.令f(x)0，即0，所以0x，所以函数f(x)的单调递减区间是.所以函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是.关闭Word文档返回原板块
