1、1.设函数f (x)2|x1|x2|.(1)求不等式f (x)4的解集；(2)若不等式f (x)|m2|的解集是非空集合，求实数m的取值范围.解(1)f(x)令f(x)4，则或或解得x0或x，所以不等式f (x)4的解集是.(2)f (x)在(，1上递减，在1，)上递增，所以f (x)f (1)3.由于不等式f (x)|m2|的解集是非空集合，所以|m2|3，解得m1或m5，即实数m的取值范围是(，1)(5，).2.(2015全国卷)设a、b、c、d均为正数，且abcd，证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd|的充要条件.证明(1)因为()2ab2，()2cd2，由题设abcd，ab
2、cd得()2()2.因此.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2, 即(ab)24ab(cd)24cd.因为abcd，所以abcd.由(1)得.若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.综上，是|ab|cd|的充要条件.3.(1)已知a，b都是正数，且ab，求证：a3b3a2bab2；(2)已知a，b，c都是正数，求证：abc.证明(1)(a3b3)(a2bab2)(ab)(ab)2，因为a ，b都是正数，所以ab0，又因为ab，所以(ab)20，于是(ab)(ab)20，即(a3b3)
3、(a2bab2)0，所以a3b3a2bab2.(2)因为b2c22bc，a20，所以a2(b2c2)2a2bc.同理b2(a2c2)2ab2c. c2(a2b2)2abc2.相加得2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2，从而a2b2b2c2c2a2abc(abc).由a，b，c都是正数，得abc0，因此abc.4.设函数f (x)|x1|x4|a；(1)当a1时，求函数f (x)的最小值；(2)若f (x)1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围.解(1)当a1时，f (x)|x1|x4|1|x1(x4)|14，f (x)min4.(2)f (x)1对任意的实数x恒成立|x1|x4|1a对任意的实数x恒成立a4，当a0时，上式成立；当a0时，a24，当且仅当a，即a2时上式取等号，此时a4成立.综上，实数a的取值范围为(，0)2.5.已知定义在R上的函数f (x)|x1|x2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23.(1)解因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当1x2时，等号成立，所以f (x)的最小值等于3，即a3.(2)证明由(1)知pqr3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，即p2q2r23.
