1、第56课圆的方程A应知应会1. 与圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为.2. 若直线y=x+b平分圆x2+y2-8x+2y+8=0 的周长,则实数b的值为.3. 若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是.4. 圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为.5. 已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,0),B(1,1),C(4,2),求ABC外接圆的方程.6. 若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,求实数a的取值范围,并求出半径最小的圆的方程.B巩固提升1. (2015全国卷改编)已知ABC的三个顶点的坐标分别为
2、A(1,0),B(0,),C(2,),那么ABC外接圆的圆心到原点的距离为.2. 已知实数x,y满足(x-2)2+(y+1)2=1,那么2x-y的最大值与最小值的和为.3. 已知点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上,若点P的坐标满足不等式x+y+m0,则实数m的取值范围是.4. (2016南京一中)已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0),且被x轴分成的两段圆弧的长度之比为12,那么圆C的方程为.5. (2016扬州中学)已知曲线C:x2+y2-4mx+2my+20m-20=0.(1) 求证:不论m取何实数,曲线C恒过一定点;(2) 求证:当m2时,曲线C是一个圆.6. 如图,为保护河上古
3、桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直,保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tanBCO=.(1) 求新桥BC的长;(2) 当OM多长时,圆形保护区的面积最大?(第6题)第55课两条直线的位置关系A应知应会1. 【解析】d=.2. 3x+2y-1=0【解析】由题意知直线l的斜率为-,因此直线l的方程为y-2=-(x+1),即3x+2y-1=0.3. -1或2【解析】若a=0,则两条直线方程分别
4、为-x+2y+1=0和x=-3,此时两直线相交,不平行,所以a0;若a0,因为两直线平行,所以=,解得a=-1或2.4. 2x-y+1=0【解析】因为直线l到两直线的距离相等,所以直线l一定与两直线平行.设直线l的方程为2x-y+m=0,则由两条平行线之间的距离公式有=,解得m=1,所以直线l的方程为2x-y+1=0.5. 【解答】由=,得m2+8m+7=0,解得m1=-1,m2=-7.由=,得m=-1.(1) 当m-1且m-7时,l1与l2相交.(2) 当m=-7时,l1l2.(3) 当m=-1时,l1与l2重合.(4) 当(m+3)4+2(5+m)=0,即m=-时,l1l2.6. 【解答】
5、(1) 因为l1l2,所以a(a-1)+(-b)1=0,即a2-a-b=0.又点(-3,-1)在直线l1上,所以-3a+b+4=0.由解得a=2,b=2.(2) 因为l1l2,所以=1-a,所以b=,故l1和l2的方程可分别表示为(a-1)x+y+=0,(a-1)x+y+=0.又原点到l1,l2的距离相等,所以4=,解得a=2或,所以a=2,b=-2或a=,b=2.B巩固提升1. 【解析】设点P关于直线l的对称点为P(x0,y0),则线段PP的中点M在直线l上,且PPl,所以解得即点P的坐标为.2. 2x+3y-18=0或2x-y-2=0【解析】显然直线l的斜率不存在时,不满足题意,故设直线l
6、的方程为y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0,由题意知=,解得k=2或k=-,所以直线l的方程为2x-y-2=0或2x+3y-18=0.3. 7x+y+22=0【解析】由 得交点为P.又直线x-y-2=0上的点Q(2,0)关于直线l的对称点为Q,故所求直线(即PQ)的方程为=,即7x+y+22=0.4. 4【解析】因为点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,所以4m+3n-10=0.欲求m2+n2的最小值,可先求的最小值,即求原点(0,0)到直线4m+3n-10=0的距离d.又d=2,所以m2+n2的最小值为4.5. 【解答】(1) l2:2x-y-=0,故l1与l2间的距离d=,
7、所以a=3或a=-4.因为a0,所以a=3.(2) 设点P的坐标为(x0,y0).若点P满足条件,则点P在与直线l1,l2平行的直线l:2x-y+C=0上,且=,即C=或C=,所以2x0-y0+=0或2x0-y0+=0.若点P满足条件,由点到直线的距离公式得=,即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,解得x0-2y0+4=0或3x0+2=0.又由知点P在第一象限,则3x0+2=0不可能.联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0,解得x0=-3,y0=,舍去.联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0,解得x0=,y0=.所以P即为同时满足三个条件的点.6. 【解答】由题意画出
8、大致图象如图所示,设点A(-4,2)关于直线l:y=2x的对称点为A(a,b),则点A必在直线BC上.由对称性可得解得所以A(4,-2),所以直线BC的方程为=,即3x+y-10=0.由得C(2,4),所以kAC=,kBC=-3,所以ACBC,所以ABC是直角三角形.(第6题)第56课圆的方程A应知应会1. (x-2)2+y2=5【解析】圆心(-2,0)关于原点(0,0)的对称点为(2,0),所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=5.2. -5【解析】圆心坐标为(4,-1),由直线y=x+b平分圆,知-1=4+b,所以b=-5.3. (-1,1)【解析】因为点(1,1)在圆的内部,所以(1-a
9、)2+(1+a)24,解得-1a0恒成立,所以a0时,方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆.设圆的半径为r,则r2=2,所以当=,即a=2时,圆的半径最小,半径最小的圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.B巩固提升1. 【解析】ABC外接圆的圆心在直线BC的垂直平分线上,即在直线x=1上,设圆心D(1,b).由DA=DB,得|b|=b=,所以圆心到原点的距离d=.2. 10【解析】令b=2x-y,则b为直线2x-y=b在y轴上的截距的相反数.当直线2x-y=b与圆相切时,b取得最值.由=1,解得b=5,所以2x-y的最大值为5+,最小值为5-,其和为10.3. -1,+)【解
10、析】令x=cos ,y=1+sin ,则m-x-y=-1-(sin +cos )=-1-sin对任意的R恒成立,所以m-1.4. x2+=【解析】由题可知圆心在y轴上,且被x轴所分劣弧所对的圆心角为.设圆心坐标为(0,b),半径为r,则rsin=1,rcos=|b|,解得r=,|b|=,即b=.故圆的方程为x2+=.5. 【解答】(1) 曲线C的方程为x2+y2-20+m(-4x+2y+20)=0,故曲线C经过圆x2+y2-20=0与直线-4x+2y+20=0的交点(4,-2),所以不论m取何实数,曲线C恒过定点(4,-2).(2) 曲线C的方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5m2-20
11、m+20,当m2时,5(m-2)20,故当m2时,曲线C是一个圆,此时圆心为P(2m,-m).6. 【解答】(1) 如图,以O为坐标原点,OC所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0,60),C(170,0),直线 BC 的斜率kBC=-tanBCO=-.又因为 ABBC,所以直线AB的斜率kAB=.设点B的坐标为(a,b),则kBC=-,kAB=,解得a=80,b=120,所以BC=150.因此新桥BC的长是150 m.(第6题)(2) 设圆M的半径为r m,OM=d m(0d60).由条件知直线BC的方程为y=-(x-170),即4x+3y-680=0.由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离为r,即r=.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,所以即解得10d35.故当d=10时,r=最大,即圆的面积最大,所以当OM=10 m时,圆形保护区的面积最大.
