1、切线长定理一. 本周教学内容： 切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段学习目标 1. 切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 2. 切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3
2、. 弦切角、顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AB切O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 4. 弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 5. 弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6. 遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7. 与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理O中，AB、CD为弦，交于PPAPBPCPD连结AC、BD，证：APCDPB相交弦定理的推论O中，AB为直径，CDAB于PPC2PAPB用相交弦定理切割线定理O中，PT切O于T，割线PB交O于APT2PAPB连结TA、TB，证：
3、PTBPAT切割线定理推论PB、PD为O的两条割线，交O于A、CPAPBPCPD过P作PT切O于T，用两次切割线定理圆幂定理O中，割线PB交O于A，CD为弦PCPDr2OP2PAPBOP2r2r为O的半径延长PO交O于M，延长OP交O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证 8. 圆幂定理：过一定点P向O作任一直线，交O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数|（R为圆半径），因为叫做点对于O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。 例1. 如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。图1 解：由切
4、线长定理知：AFAB1，EFCE 设CE为x，在RtADE中，由勾股定理 ， 例2. O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE6cm，BE2cm，CD7cm，那么CE_cm。图2 解：由相交弦定理，得 AEBECEDE AE6cm，BE2cm，CD7cm， ， ， 即 CE3cm或CE4cm。 故应填3或4。 点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。 例3. 已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则_。 解：PP PACB， PACPBA， ， 。 又PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得 ， 即 ， 故应填PC。 点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结
5、论。 例4. 如图3，P是O外一点，PC切O于点C，PAB是O的割线，交O于A、B两点，如果PA：PB1：4，PC12cm，O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是_cm。图3 解：PC是O的切线，PAB是O的割线，且PA：PB1：4 PB4PA 又PC12cm 由切割线定理，得 ， PB4624（cm） AB24618（cm） 设圆心O到AB距离为d cm， 由勾股定理，得 故应填。 例5. 如图4，AB为O的直径，过B点作O的切线BC，OC交O于点E，AE的延长线交BC于点D，（1）求证：；（2）若ABBC2厘米，求CE、CD的长。图4 点悟：要证，即要证CEDCBE。 证明：（1）连结
6、BE （2）。 又， 厘米。 点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。 例6. 如图5，AB为O的直径，弦CDAB，AE切O于A，交CD的延长线于E。图5 求证： 证明：连结BD， AE切O于A， EADABD AEAB，又ABCD， AECD AB为O的直径 ADB90 EADB90 ADEBAD CDAB ADBC， 例7. 如图6，PA、PC切O于A、C，PDB为割线。求证：ADBCCDAB图6 点悟：由结论ADBCCDAB得，显然要证PADPBA和PCDPBC 证明：PA切O于A， PADPBA 又APDBPA， PADPBA 同理可证PCDPBC PA、
7、PC分别切O于A、C PAPC ADBCDCAB 例8. 如图7，在直角三角形ABC中，A90，以AB边为直径作O，交斜边BC于点D，过D点作O的切线交AC于E。图7 求证：BC2OE。 点悟：由要证结论易想到应证OE是ABC的中位线。而OAOB，只须证AECE。 证明：连结OD。 ACAB，AB为直径 AC为O的切线，又DE切O于D EAED，ODDE OBOD，BODB 在RtABC中，C90B ODE90 CEDC EDEC AEEC OE是ABC的中位线 BC2OE 例9. 如图8，在正方形ABCD中，AB1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点
8、A、D不重合），过E作所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点。 当DEF45时，求证点G为线段EF的中点；图8 解：由DEF45，得 ， DFEDEF DEDF 又ADDC AEFC 因为AB是圆B的半径，ADAB，所以AD切圆B于点A；同理，CD切圆B于点C。 又因为EF切圆B于点G，所以AEEG，FCFG。 因此EGFG，即点G为线段EF的中点。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题 1. 已知：PA、PB切O于点A、B，连结AB，若AB8，弦AB的弦心距3，则PA（ ） A. B. C. 5D. 8 2. 下列图形一定有内切圆的是（ ） A. 平行四边形B. 矩形 C. 菱形D.
9、梯形 3. 已知：如图1直线MN与O相切于C，AB为直径，CAB40，则MCA的度数（ ）图1 A. 50B. 40C. 60D. 55 4. 圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（ ） A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm 5. 在ABC中，D是BC边上的点，AD，BD3cm，DC4cm，如果E是AD的延长线与ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（ ） A. B. C. D. 6. PT切O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交O于B和A，B在线段PD上，若CD2，AD3，BD4，则PB等于（ ） A. 20B. 10C. 5D
10、. 二、填空题 7. AB、CD是O切线，ABCD，EF是O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则EOF_度。 8. 已知：O和不在O上的一点P，过P的直线交O于A、B两点，若PAPB24，OP5，则O的半径长为_。 9. 若PA为O的切线，A为切点，PBC割线交O于B、C，若BC20，则PC的长为_。 10. 正ABC内接于O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交O于点D，连结BD交AC于P，则_。三、解答题 11. 如图2，ABC中，AC2cm，周长为8cm，F、K、N是ABC与内切圆的切点，DE切O于点M，且DEAC，求DE的长。图2 12. 如图3，已知P为O的直径AB延长线上一点
11、，PC切O于C，CDAB于D，求证：CB平分DCP。图3 13. 如图4，已知AD为O的直径，AB是O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且BMMNNC，若AB，求O的半径。图4参考答案一、选择题 1. A2. C3. A4. B5. B6. A二、填空题 7. 908. 19. 3010. 三、解答题： 11. 由切线长定理得BDE周长为4，由BDEBAC，得DE1cm 12. 证明：连结AC，则ACCB CDAB，ACBCDB，A1 PC为O的切线，A2，又12， BC平分DCP 13. 设BMMNNCxcm 又 又OA是过切点A的半径，OAAB即ACAB 在RtABC中，由勾股定理，得， 由割线定理：，又 半径为。
