1、广西壮族自治区柳州市2023届高三数学下学期摸底考试试题 理（考试时间 120分钟满分150分）注意：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题3做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案第I卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）1. 已知集合，则（）AB. C. D. 2. 设，若复数的虚部与复数的虚部相等，则（）A. B. C. D. 3. 已知向量
2、，夹角为，且，则（）A1B. C. 2D. 14. 执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A. 2B. C. D. 5. 若，则（）A. B. C. D. 6. 若，则（）A. B. C. D. 7. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A. 2B. 3C. 2D. 08. 已知直线与圆相交于A，B两点，则k（）A. B. C. D. 9. 今年中国空间站将进入到另一个全新的阶段正式建造阶段，首批参加中国空间站建造的6名航天员，将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船，接连去往中国空间站，并且在上面“会师”.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱. 假设
3、中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A. 44种B. 48种C. 60种D. 50种10. 若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间0，上不单调，则的最小值为（）A. 9B. 7C. 11D. 311. 已知函数为上的偶函数，当时，函数，若关于的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D. 12. 如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点若双曲线E：
4、的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，则E的离心率为（）A. B. C. D. 第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）13. 已知直线是曲线的一条切线，则b_14. 展开式中的系数为_（用数字作答）15. 已知A（3，1），B（3，0），P是椭圆上的一点，则的最大值为_16. 在正方体中，点E为线段上动点，现有下面四个命题：直线DE与直线AC所成角为定值；点E到直线AB的距离为定值；三棱锥的体积为定值；三棱锥外接球的体积为定值其中所有真命题的序号是_三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明
5、，证明过程或演算步骤，并将答案写在答案卡相应题号的空白处）17. 在锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知（1）求角A的大小；（2）若，求ABC的面积18. 已知数列满足，（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）求数列的前n项和19. 年北京冬奥会的申办成功与“亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有人表示对冰球运动没有兴趣（1）完成列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男女
6、合计（2）先从样本对冰球有兴趣的学生中按分层抽样的方法取出名学生，再从这人中随机抽取人，记抽取的人中有名男生，求的分布列和期望20. 如图，在三棱锥中，O为AC的中点（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且PM与面ABC所成角的正切值为，求二面角的平面角的余弦值21. 已知函数（1）讨论当时，f(x)单调性（2）证明：22. 已知平面上动点Q（x，y）到F（0，1）的距离比Q（x，y）到直线的距离小1，记动点Q（x，y）的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程（2）设点P的坐标为（0，1），过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明：参考答案1B2【答
7、案】D3【答案】A4【答案】C5【答案】A6【答案】B7【答案】C8【答案】B9【答案】A10【答案】C11【答案】B12【答案】B13【答案】214【答案】15【答案】916【答案】17【答案】（1）（2）【小问1详解】由已知及正弦定理知：因为C为锐角，则，所以因为A为锐角，则【小问2详解】由余弦定理，则，即即，因为，则所以ABC的面积18【答案】（1）证明见解析；（2）【小问1详解】由题意可得：所以是首项为2，公比为2的等比数列则，即因此的通项公式为【小问2详解】由（1）知，令则所以综上19【答案】（1）填表见解析，有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”（2）分布列见解析，期望为【小问
8、1详解】解：（1）由题意可知，样本中女生人数为，样本中，对冰球运动有兴趣的女生人数为，根据已知数据得到如下列联表：有兴趣没兴趣合计男女合计根据列联表中的数据，得到，所以，有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”【小问2详解】解：由题意得，按分层抽样方法抽取出来的人中，有个男生对冰球感兴趣，有个女生对冰球感兴趣，则的可能取值为、，所以的分布列如下表所示：所以，的期望为20【答案】（1）证明见解析（2）【小问1详解】证明：连接OB法一：，即ABC是直角三角形，又O为AC的中点，又，OB、AC平面ABCPO平面ABC法二：连接，O为AC的中点因为，OB、AC平面ABCPO平面ABC【小问2详解】由
9、（1）知，PO面ABCOM为PM在面ABC上的射影，PMO为PM与面ABC所成角，在OMC中由正弦定理可得，M为BC的中点法一：作MEAC于E，E为OC的中点，作交PA于F，连MFMFPAMFE即为所求二面角的平面角，法二：分别以OB，OC，OP为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系M（，0）记为面AMP的法向量则面APC的法向量易知所成角为锐角记为21（1）解：由题意可知对于二次函数当时，恒成立，f(x)在上单调递减；当时，二次函数有2个大于零的零点，分别是，当，f(x)在单调递增；当，f(x)在和单调递减综上：当时，f(x)在（0，）单调递减当时f(x)在单调递增；单调递减（2）证明：要证，即证
10、（方法一）设，则，在（0，）上为增函数，因为，所以在（，1）上存在唯一的零点m，且，即所以h(x)在（0，m）上单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以等号不成立，所，所以，从而原不等式得证（方法二）不妨设，则，当时，当时，因此恒成立，则恒成立，则恒成立，即又，所以等号不成立，即，从而不等式得证22【小问1详解】Q（x，y），由题意，得，当时，平方可得，当时，平方可得，由可知，不合题意，舍去.综上可得，所以Q的轨迹方程C为【小问2详解】不妨设，因为，所以，从而直线PA的斜率为，解得，即A（2，1），又F（0，1），所以轴要使，只需设直线m的方程为，代入并整理，得首先，解得或其次，设，则，故.此时直线m的斜率的取值范围为
