1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。3.1.3组合与组合数第1课时组合与组合数、组合数的性质必备知识自主学习导思什么是组合？与排列有什么区别？1.组合的定义从n个不同对象中取出m(nm)个对象合成一组，叫做从n个不同对象中取出m个对象的一个组合(1)组合对对象有何要求？提示：组合要求n个对象是不同的，被取出的m个对象也是不同的(2)组合是有放回抽取还是无放回抽取？提示：无放回抽取，即从n个不同的对象中进行m次不放回地取出2组合数的概念、公式、性质组合数定义从n个不同对象中取出m(mn)个对象的所有不同组合的
2、个数,叫做从n个不同对象中取出m个对象的组合数表示法组合数公式乘积式C阶乘式C性 质C，C备 注n,mN*且mn,规定:=1组合数的两个性质在计算组合数时有何作用？提示：第一个性质中，若m，通常不直接计算C，而改为计算C，这样可以减少计算量；第二个性质是根据需要将一个组合数拆解成两个组合数或者把两个组合数合成一个组合数，在解题中要注意灵活运用1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)从3，5，7，11中任取两个数相除属于组合问题()提示：由于两个数相除与顺序有关，所以是排列问题(2)由于组合数的两个公式都是分式，所以结果不一定是整数()提示：C是从n个对象中取m个对象的情况的种数，故C一定是正
3、整数(3)区别组合与排列的关键是看问题对象是否与顺序有关()提示：组合与排列不同之处是组合选出的对象没有顺序而排列有顺序2下面几个问题中属于组合问题的是()由1，2，3，4构成的双元素集合；5个队进行单循环足球比赛的分组情况；由1，2，3构成两位数的方法；由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法ABCD【解析】选C.取出元素与顺序无关，取出元素与顺序有关3若C28，则n()A9 B8 C7 D6【解析】选B.C28，解得n8.4C_，C_【解析】C15，CC18.答案：1518关键能力合作学习类型一组合的有关概念(数学抽象)【典例】1.给出下列问题：(1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完
4、成一件工作，有多少种不同的选法？(2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？在上述问题中，_是组合问题，_是排列问题【思路导引】根据组合的定义判断【解析】(1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题(2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题答案：(1)(3)(2)(4)2判断下列各事件是排列问题还是组合问题(1)
5、8个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？(2)8个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？(3)从1，2，3，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(4)从1，2，3，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？【思路导引】结合给出的事件以及排列与组合的定义判断【解析】(1)每两人握手一次，无顺序之分，是组合问题(2)每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的(3)是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数(4)是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变排
6、列、组合问题的判断方法(1)区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序(2)区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个对象的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数(1)10人规定相互通一次电话，共通多少次电话？(2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？(3)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(4)从10个人中选出3个代表去开会，有多少种选法？(5)从10个人
7、中选出3个不同学科的科代表，有多少种选法？【解析】(1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为C45.(2)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为C45.(3)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的，排列数为A90.(4)是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别，组合数为C120.(5)是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的科代表是有顺序区别的，排列数为A720.【补偿训练】判断下列问题是组合还是排列，并用组合数或排列数表示出来(1)若已知集合1，2，3
8、，4，5，6，7，则集合的子集中有3个对象的有多少？(2)8人相互发一个电子邮件，共发了多少个邮件？(3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？【解析】(1)已知集合的对象具有无序性，因此含3个对象的子集个数与对象的顺序无关，是组合问题，共有C个(2)发邮件与顺序有关，是排列问题，共发了A个电子邮件(3)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题，有A种飞机票；票价只与两站的距离有关，故票价的种数是组合问题，有C种票价类型二列举法解决组合问题(逻辑推理)【典例】已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合
9、四步内容理解题意条件：A，B，C，D，E五个元素；每次取出3个元素；结论：所有组合思路探求列举法解答，注意按顺序列举书写表达方法一：可按ABACADBCBDCD顺序写出，即所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.方法二：画出树形图，如图所示由此可以写出所有的组合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.注意书写的规范性：注意是否与顺序有关；注意按顺序列举，不重不漏题后反思列举法适合总数比较少的情形 1此类列举所有从n个不同元素中选出m个元素的组合，可借助本例所示的“顺序后移法”(如法一)或“树形图法”
10、(如法二)，直观地写出组合做到不重复不遗漏2由于组合与顺序无关故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写出的一个组合不可交换位置如写出ab后，不必再交换位置为ba，因为它们是同一组合画“树形图”时，应注意顶层及下枝的排列思路，防止重复或遗漏1回文联是我国对联中的一种用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读不仅意思不变，而且颇具趣味相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的
11、个数为()A30B36C360D1 296【解析】选B.分2种情况讨论：4位“回文数”中数字全部相同，有1 111，2 222，3 333，4 444，5 555，6 666，共6种情况，即此时有6个4位“回文数”；4位“回文数”中有2个不同的数字，有1 221，1 331，1 441，1 551，1 661；2 112，2 332，2 442，2 552，2 662，；6 116，6 556，共30种情况，即此时有30个4位“回文数”；则一共有63036个4位“回文数”2已知a，b，c，d这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合【解析】可按abcd顺序写出，即所以所有组合为ab，ac，ad
12、，bc，bd，cd.类型三组合数公式及其简单应用(逻辑推理、数学运算)角度1与组合数有关计算【典例】1.计算CCA_【思路导引】根据组合数公式进行计算【解析】原式CA7652102100.答案：02计算CC的结果为_【思路导引】求出n的值，再由组合数公式进行计算【解析】解得4n5.又因为nN*，所以n4或n5.当n4时，原式CC5.当n5时，原式CC16.答案：5或16角度2组合数性质的应用【典例】1.计算CCCC的值为()ACBCCC1DC1【思路导引】先增加一项C，根据组合数的性质逐步运算，最后再减去C即可【解析】选C.CCCCCCCCCCCCC1CC1C1.2若CC，则x的值为_【思路导
13、引】根据组合数的性质找到关于x的整式方程求解【解析】由CC得2x1x3或2x1x38，解得x4或x2.答案：2或43求证：CC2CC.【思路导引】将等式的右侧进行整合后根据组合数的性质化简【解析】由组合数的性质CCC可知，右边(CC)(CC)CCC左边，右边左边，所以原式成立1巧用组合数公式解题(1)涉及具体数字的可以直接用C进行计算(2)涉及字母的可以用阶乘式C计算(3)计算时应注意利用组合数的性质CC简化运算2性质“CC”的意义及作用1若CC(nN)，则n()A5B7C5或7D5或6【解析】选C.由题意，2n3n2或2n3n220，即n5或7.2.可表示为()AA BA CC DC【解析】
14、选D.C.3若3A6A4C，则n()A8 B7 C6 D5【解析】选D.由题意知，3n(n1)(n2)6n(n1)4，解得n5.4计算CC_【解析】CCCC161 700.答案：161 700【补偿训练】1.方程CC的解集为()A4B14C4，6D14，2【解析】选C.因为CC，所以x2x4或x2x414，所以x4或x6.经检验知x4或x6符合题意，故方程CC的解集为4，62CCCC的值为_【解析】原式可变为CCCC，由CCC得CCC，CCC所以CCCCC5 985.答案：5 985课堂检测素养达标1AC()A9B12C15D3【解析】选A.由题意得AC431239.2若A6C，则m等于()A
15、9 B8 C7 D6【解析】选C.因为A6C，所以m6，即1，解得m7.3不等式CC的解为_【解析】由题意知3n12，且nN*，由题意得，解得n7.5，所以n3，4，5，6，7.答案：n3，4，5，6，74计算CC的值为_【解析】因为所以9.5n10.5，因为nN，所以n10，所以CCCC466.答案：4665判断下列问题是排列问题还是组合问题：(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？(2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？【解析】(1)是组合问题由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关(2)是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的(3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序关闭Word文档返回原板块
