1、第3讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2015泰安模拟)不等式组所表示的平面区域的面积为 ()A1 B. C. D.解析作出不等式组对应的区域为BCD，由题意知xB1，xC2.由得yD，所以SBCD(xCxB).答案D2(2014广东卷)若变量x，y满足约束条件且z2xy的最大值和最小值分别为m和n，则mn()A5 B6 C7 D8解析作出可行域(如图中阴影部分所示)后，结合目标函数可知，当直线y2xz经过点A时，z的值最大，由得则mzmax2213.当直线y2xz经过点B时，z的值最小，由得则nzmin2(1)13，故mn6.答案B3
2、(2013陕西卷)若点(x，y)位于曲线y|x|与y2所围成的封闭区域，则2xy的最小值为()A6 B2C0 D2解析如图，曲线y|x|与y2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z2xy，则y2xz，作直线y2x，在封闭区域内平行移动直线y2x，当经过点(2，2)时，z取得最小值，此时z2(2)26.答案A4(2014大连模拟)在平面直角坐标系 xOy中，P为不等式组所表示的平面区域上一动点，则直线OP斜率的最大值为()A2 B.1 C. D.解析作出可行域如图所示，当点P位于的交点(1，1)时，(kOP)max1，故选B.答案B5(2015济南模拟)已知变量x，y满足约束条件目标函数zx2y的
3、最大值为10，则实数a的值为()A2 B.C4 D8解析结合图形求解作出不等式组对应的平面区域，当目标函数经过点(a，a1)时取得最大值10，所以a2(a1)10，解得a4，故选C.答案C二、填空题6(2015日照调研)若A为不等式组表示的平面区域，则当a从2连续变化到1时，动直线xya扫过A中的那部分区域的面积为_解析平面区域A如图所示，所求面积为S222.答案7在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是_解析如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O到直线xy20的垂线段长是|OM|的最小值，|OM|min.答案8(2015盐城调研)设x，y满足约
4、束条件若目标函数zabxy(a0，b0)的最大值为35，则ab的最小值为_解析可行域如图所示，当直线abxyz(a0，b0)过点B(2，3)时，z取最大值2ab3，于是有2ab335，ab16，所以ab228，当且仅当ab4时等号成立，所以(ab)min8.答案8三、解答题9(2015合肥模拟)画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x，y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解(1)不等式组表示的平面区域如图所示结合图中可行域得x，y3，8(2)由图形及不等式组知当x3时，3y8，有12个整点；当x2时，2y7，有10个整点；当x1时，1y6，有8个整点；当x0时，0y5，
5、有6个整点；当x1时，1y4，有4个整点；当x2时，2y3，有2个整点；平面区域内的整点共有2468101242(个)10制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解设投资人分别用x万元，y万元投资甲、乙两个项目，由题意知目标函数zx0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域
6、将zx0.5y变形为y2x2z，这是斜率为2随z变化的一组平行线，当直线y2x2z经过可行域内的点M时，直线y2x2z在y轴上的截距2z最大，z也最大这里M点是直线xy10和0.3x0.1y1.8的交点解方程组得x4，y6，此时z40.567(万元)当x4，y6时，z取得最大值，所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大能力提升题组(建议用时：25分钟)11已知圆C：(xa)2(yb)21，平面区域：若圆心C，且圆C与x轴相切，则a2b2的最大值为()A5 B29 C37 D49 解析由已知得平面区域为MNP内部及边界圆C与x轴相切
7、，b1.显然当圆心C位于直线y1与xy70的交点(6，1)处时，amax6.a2b2的最大值为621237.故选C.答案C12已知实数x，y满足不等式组若目标函数zyax取得最大值时的唯一最优解是(1，3)，则实数a的取值范围为()A(，1) B(0，1) C1，) D(1，)解析作出不等式组对应的平面区域BCD，由zyax，得yaxz，要使目标函数yaxz仅在点(1，3)处取最大值，则只需直线yaxz仅在点B(1，3)处的截距最大，由图象可知akBD，因为kBD1，所以a1，即a的取值范围是(1，)答案D13(2013广东卷)给定区域D：令点集T(x0，y0)D|x0，y0Z，(x0，y0)
8、是zxy在D上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定_条不同的直线解析线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0，1)，最大值时点为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，点(0，1)与(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条，又(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)都在直线xy4上，故T中的点共确定6条不同的直线答案614变量x，y满足(1)设z，求z的最小值；(2)设zx2y2，求z的取值范围；(3)设zx2y26x4y13，求z的取值范围解由约束条件作出(x，y)的可行域如图阴影部分所示由解得A.由解得C(1，1)由解得B(5，2)(1)z.z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率观察图形可知zminkOB.(2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|.故z的取值范围是2，29(3)zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的几何意义是可行域上的点到点(3，2)的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到(3，2)的距离中，dmin1(3)4，dmax8.故z的取值范围是16，64.
