1、三角函数与解三角形五、解答题46(2021江苏常州市高三一模)在中,点D在边上,满足.(1)若,求;(2)若,求的面积.【答案】(1);(2).【解析】(1)在中,由正弦定理求得,得到的大小,进而求得的大小;(2)由,得到,根据向量的线性运算,求得,进而得到,求得的长,利用面积公式,即可求解.【详解】(1)在中,由正弦定理得,所以,因为,所以或,当时,可得,可得;当时,可得,因为(舍去),综上可得.(2)因为,所以,由,所以,即,又由,可得,解得,则,所以.47(2021河北邯郸市高三一模)设的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(1)求的值;(2)若点D为边的中点,求的值【答案】(1
2、)4;(2)【解析】(1)由,带入余弦定理整理可得,所以,带入即可得解;(2)作边上的高,垂足为E,因为,所又,所以,因为点D为边的中点且,所以,再根据勾股定理即可得解.【详解】(1)因为,所以,即又,所以(2)如图,作边上的高,垂足为E,因为,所以又,所以因为点D为边的中点,所以在直角三角形中,所以在直角三角形中,所以48(2021全国高三专题练习)如图,在中,点,是线段(含端点)上的动点,且点在点的右下方,在运动的过程中,始终保持不变,设弧度(1)写出的取值范围,并分别求线段,关于的函数关系式;(2)求面积的最小值【答案】(1),;(2)【解析】(1)依据直角三角形直接写出的范围,然后根据
3、正弦定理可得,关于的函数关系式.(2)根据(1)的条件可得,并结合辅助角公式,简单计算以及判断即可.【详解】(1)由题意知,(2)当且仅当时,取“”49(2021全国高三专题练习)在中,分别为角,的对边,且.(1)求角;(2)若的面积为,边上的高,求,.【答案】(1);(2),.【解析】(1)化角为边,化简得,再利用余弦定理求角;(2)由正弦定理算出,由面积公式算出,由余弦定理计算中即可.【详解】解:(1)因为,所以,所以,即.由余弦定理可得,因为,所以.(2)由正弦定理可得.因为的面积为,所以,解得.由余弦定理可得,则.50(2021湖南高二月考)如图,在平面四边形ABCD中,ADCD, B
4、AD=,2AB=BD=4.(1)求cosADB;(2)若BC=,求CD.【答案】(1);(2)【解析】(1)中,利用正弦定理可得,进而得出答案;(2)中,利用余弦定理可得【详解】(1)中,即,解得,故;(2)中,即,化简得,解得51(2021山东高三专题练习)在中,内角,的对边分别为,且.(1)求角;(2)若,求的面积.【答案】(1);(2).【解析】(1)由正弦定理化角为边,然后由余弦定理可得角;(2)利用余弦定理和已知可求得,从而得三角形面积【详解】(1)由正弦定理,得,又,所以.由余弦定理,得,故.又,所以.(2)由余弦定理,得.联立方程组,得,化简,得,解得,所以的面积.52(2021
5、全国高三专题练习)在圆内接四边形中,求面积的最大值.【答案】最大值为【解析】因为四边形是圆内接四边形,求得,得到,由正弦定理,求得,在中,由余弦定理和基本不等式,求得,即可求解.【详解】因为四边形是圆内接四边形,可得,又因为,所以,在中,因为,可得,由正弦定理得,所以得,在中,由余弦定理得,即,当且仅当时,取等号,即,所以,即面积的最大值为.53(2021山东枣庄市高三二模)若的部分图象如图所示,.(1)求的解析式;(2)在锐角中,若,求,并证明.【答案】(1);(2),证明见解析.【解析】(1)由结合的取值范围可求得的值,再结合可求得的值,进而可得出函数的解析式;(2)求出的取值范围,由已知
6、条件求出的值,利用同角三角函数的基本关系及二倍角的降幂公式可求得的值,然后利用两角和的正弦公式可证明得出.【详解】(1)由,得,又,故.由,得,所以,即,由,结合函数图象可知,所以.又,所以,从而,因此,;(2)由,所以,故.,于是.所以,.又,故.又在上单调递增,所以.54(2021河北唐山市高三二模)在中,角,的对边分别为,边上的高为(1)若,求的周长;(2)求的最大值【答案】(1);(2)【解析】(1)由三角形面积公式可得,结合余弦定理,可得,即可得的周长;(2)由(1)和正弦定理可得,转化为三角函数以后利用辅助角公式化简运算,由,根据三角函数的性质求解最大值.【详解】解:(1)依题意,
7、可得,因为,所以由余弦定理得,因此,即故的周长为(2)由(1)及正弦定理可得,(其中为锐角,且)由题意可知,因此,当时,取得最大值55(2021辽宁高三二模)已知在锐角中,角,的对边分别为,的面积为,若,.(1)求;(2)若_,求的面积的大小.(在,这两个条件中任选一个,补充在横线上)【答案】(1);(2)条件选择见解析;.【解析】(1)利用三角形面积公式由,得到,再利用余弦定理求解; (2)若选,由,易得,再结合(1)利用正弦定理求得a,再利用三角形面积公式求解;若选,由,利用余弦定理得易得,再利用三角形面积公式求解.【详解】(1)因为, 所以,即,所以,故,因为,所以.(2)若选,因为,所
8、以,所以.因为,所以.由正弦定理,得,所以.所以.若选,因为,由余弦定理得,解得.56(2021江苏盐城市高三二模)在;这三个条件中任选一个,补充在下面问题中若问题中的三角形存在,求该三角形面积的值;若问题中的三角形不存在,说明理由问题:是否存在,它的内角的对边分别为,且, ?【答案】答案不唯一,具体见解析【解析】根据三角形内角和为及题干条件,结合两角和与差的正弦公式,可求得角A,选择,利用正弦定理可得,根据角B的范围,可求得,或.当时,求得角C,即可求得面积,当时,根据正弦定理,求得b,即可求得面积;选择,根据余弦定理,可求得,即可求得a,b,进而可求得面积;选择,根据正弦定理,可得,与题干
9、条件矛盾,故不存在.【详解】解:在中,所以因为,所以,即,所以在中,所以,所以因为,所以选择:因为,由正弦定理得,因为,所以,或,此时存在当时,所以,所以的面积为当时,所以,所以的面积为选择:因为,所以,得,所以,此时存在因为,所以所以的面积为.选择:由,得,这与矛盾,所以不存在57(2021湖南衡阳市高三一模)中,角,的对边分别为,且,成等差数列.(1)若,求;(2)求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)由等差数列得,由正弦定理化边为角,利用得,代入可求得角;(2)由余弦定理表示出,代入,用基本不等式得的范围,从而得角范围【详解】(1),成等差数列,当时,即,而,(2)由余弦定
10、理及,当时取等号.结合余弦函数的单调性可知:.58(2021辽宁铁岭市高三一模)在,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并作答的内角、的对边分别为、,若,_求和【答案】选择见解析,【解析】选择条件,利用正弦定理结合余弦定理求出的值,结合角的取值范围可求得的值,由正弦定理结合条件可得出,由三角形的内角和定理以及三角恒等变换思想求出,由角的取值范围可求得结果;选择条件,利用诱导公式、正弦定理以及三角恒等变换思想求出的值,结合角的取值范围可求得角的值,由正弦定理结合条件可得出,由三角形的内角和定理以及三角恒等变换思想求出,由角的取值范围可求得结果;选择条件,由正弦定理以及两角差的正弦公式可求得的值
11、,结合角的取值范围可求得角的值,由正弦定理结合条件可得出,由三角形的内角和定理以及三角恒等变换思想求出,由角的取值范围可求得结果.【详解】(1)选择条件,由及正弦定理知,整理得,由余弦定理可得,又因为,所以,又由,得,由,得,即,即,即,整理得,因为,所以,从而,解得;选择条件,因为,所以,由得,由正弦定理知,可得,所以,可得,所以,故.以下过程同(1)解答;选择条件,由,及正弦定理知,则,从而,则,解得,又因为,所以,以下过程同(1)解答59(2021山东烟台市高三一模)将函数图象上所有点向右平移个单位长度,然后横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数的图象.(1)求函数的解析式及单调递增
12、区间;(2)在中,内角的对边分别为,若,求的面积.【答案】(1),单调递增区间为:;(2)或.【解析】(1)由题可得,令即可解得单调递增区间;(2)由题可得,或,由余弦定理可求得,即可求出面积.【详解】(1),图象向右平移个单位长度得到的图象,横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)得到图象,所以,令,解得,所以的单调递增区间为:(2)由(1)知,因为,所以又因为,所以,当时,此时由余弦定理可知,解得,所以,当时,此时由勾股定理可得,所以.60(2021广东汕头市高三一模)在中,角的对边分别为,已知:(1)求边的长和三角形的面积;(2)在边上取一点D,使得,求的值【答案】(1);(2).【解析】(1
13、)法一:中,由余弦定理求的长,应用三角形面积公式求的面积;法二:过作出高交于,在所得直角三角形中应用勾股定理求,即可求,由三角形面积公式求的面积;(2)由正弦定理、三角形的性质、同角三角函数的关系,法一:求、,由结合两角差正弦公式求值即可;法二:求、,再由结合两角和正切公式求值即可;法三:由(1)法二所作的高,直角中求,进而求,再根据正弦定理及同角三角函数关系求值即可.【详解】(1)法一:在中,由,由余弦定理,得,解得或(舍),所以,.法二:(1)过点作出高交于,即为等腰直角三角形,同理为直角三角形,故,.(2)在中,由正弦定理,即,得,又,所以为锐角,法一:由上,由(为锐角),得,由图可知:
14、为锐角,则,所以.法二:由上,由(为锐角),得,故.法三:为直角三角形,且,所以,在中,由正弦定理得,故,由图可知为锐角,则,所以.61(2021聊城市山东聊城一中高三一模)在中,内角,所对的边分别为,.请在;这三个条件中任选一个,完成下列问题(1)求角;(2)若,延长到点,使,求线段的长度.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【答案】(1)条件选择见解析,;(2).【解析】(1)利用所选条件,应用正余弦定理的边角关系、三角形面积公式,化简条件等式,结合三角形内角的性质,求角;(2)由正余弦定理,结合诱导公式及两角和正弦公式求,进而求的长度.【详解】(1)若选:,又,即,又,即,故
15、.若选:,即,又,又,若选:由,则有,又,.(2)中,由余弦定理:,得或 (舍),由,可得,中,由正弦定理得:,即,解得,.62(2021山东滨州市高三一模)在平面四边形中,对角线与交于点,是的中点,且(1)若,求的长;(2)若,求【答案】(1); (2).【解析】(1)由正弦定理求得,易得,然后在中由余弦定理得;(2)设,在和中用余弦定理列方程求得,然后再由余弦定理求得【详解】解:(1)在中,由正弦定理得,所以,因为,所以所以,所以,所以因为,所以由余弦定理得,所以(2)因为,所以设,在中,由余弦定理得在中,由余弦定理得,所以,解得所以在中,由余弦定理得,63(2021山东德州市高三一模)在
16、,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并给出解答问题:在中,角,的对边分别为,外接圆面积为,且_,求的面积【答案】【解析】先通过选的条件计算出角,再根据外接圆面积求出半径,然后利用正弦定理算出,再根据,得到边的关系,结合余弦定理算出三角形的边,最后利用面积公式即可获解.【详解】若选:因为,在中,由正弦定理得,因为,所以,所以,即,所以,因为,所以,因为外接圆面积为,所以半径,由得,又,所以,由余弦定理得,解得,即,所以若选:由正弦定理得,化简得:,因为,所以,所以,因为,所以其余步骤同若选:由正弦定理得:,所以,所以,因为,所以,所以,因为,所以其余步骤同64(2021全国高三专题练习)在
17、中,分别为内角,所对的边,若.(1)求的大小;(2)求的最大值.【答案】(1);(2)1.【解析】(1)由题意利用正弦定理角化边,然后结合余弦定理可得A的大小;(2)由题意结合(1)的结论和三角函数的性质可得的最大值.【详解】(1)由己知,根据正弦定理得即由余弦定理得故,所以.(2)由(1)得:故当时,取得最大值1.65(2021全国高三专题练习)请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.;.已知的内角的对应边分别为, .(1)求;(2)若,求的面积.【答案】(1);(2).【解析】第(1)小问:方案中是利用正弦定理将边转化为角的关系,化简后求得;方案首先利用正弦定理将边长之比转
18、化为角的正弦之比,再化简求得;方案利用两角和的正切公式将化成,再利用对式子进行化简得到;第(2)小问:由余弦定理可以得到关于的关系式,再结合可求得,最后求得三角形的面积即可.【详解】方案:由已知及正弦定理得所以,所以又,所以,所以所以方案:由已知正弦定理得所以即又,所以所以所以方案:因为所以即又,所以,所以所以由余弦定理,得即,又因为所以所以66(2021广东广州市高三一模)已知的内角的对边分别为,且,.(1)求;(2)求的周长.【答案】(1);(2)9【解析】(1)应用二倍角公式和诱导公式变形已知等式可求得;(2)由正弦定理化角为边,然后再结合余弦定理可求得,从而得三角形周长【详解】(1)因
19、为,所以,因为,所以,;(2)因为.所以,又,即,所以,所以67(2021山东济宁市高三一模)已知的三个内角,的对边分别是,且(1)求角;(2)若,的面积为,求的值【答案】(1);(2)6.【解析】(1)由正弦定理把条件转化为角的关系,再由两角和的正弦公式及诱导公式得的关系式,从而可得结论;(2)首先可根据解三角形面积公式得出,然后根据余弦定理计算出.【详解】(1)因为由正弦定理得,所以因为所以,所以,所以(2)因为的面积为,所以,因为,所以,所以由余弦定理得,因为,所以,所以68(2021浙江高一单元测试)的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A为锐角,.(1)求A;(2)若,且边上的
20、高为,求的面积.【答案】(1);(2)【解析】(1)先用余弦定理化余弦为边,再用正弦定理化边为角从而求得;(2)由余弦定理用表示,然后把三角形的面积用两种方法表示求得,从而可计算出面积【详解】(1)由得,由余弦定理得,所以,由正弦定理得,是三角形内角,所以,又A为锐角,所以(2)由(1),所以,即,69(2021全国高三专题练习)在中,角所对的边分别为已知,面积,再从以下两个条件中选择其中一个作为已知,求三角形的周长.(1);(2).注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【答案】【解析】利用三角形的面积公式,结合已知面积变形可得,再利用所选条件结合正弦定理求出另外两边,可得三角形的周
21、长.【详解】由三角形的面积公式可知,整理得由正弦定理得:因为,若选择条件(1)由:得,则,又为三角形的内角,由正弦定理得代入解得,三角形的周长为若选择条件(2),则由,得又,又为三角形的内角,.由正弦定理得: ,代入解得,三角形的周长为70(2021全国高三专题练习)在,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的存在,求出其面积;若不存在,说明理由.问题:是否存在,它的内角、所对的边分别为、,且,_?【答案】答案见解析【解析】选,利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换思想化简得出的值,结合角的取值范围可求得角的值,再结合余弦定理可求得,结合解出、的值,利用三角形的面积公式可求得的面积;选
22、,利用诱导公式、二倍角的正弦公式化简得出,结合角的取值范围可求得角的值,利用余弦定理求出,结合基本不等式推出矛盾,进而可得出结论;选,由二倍角的余弦公式可得出关于的二次方程,求出的值,结合角的取值范围可求得角的值,结合已知条件求出、的值,再利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】解:选择条件:由正弦定理可得,由于,可得,化简可得,即,因为,所以,由余弦定理可得,解得,解得,因此;选择条件:因为,即,由正弦二倍角公式可得:,则,所以,所以,所以即,由余弦定理可得,由已知可得,由基本不等式可得,所以不存在满足条件的;选择条件:由余弦二倍角公式可得:,解得或(舍去),因为,所以,由余弦定理得:,解得
23、,解得,因此;71(2021全国高三专题练习)在函数的图象关于直线对称,函数的图象关于点对称,函数的图象经过点这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并解答问题:已知函数最小正周期为,且 ,判断函数在上是否存在最大值?若存在,求出最大值及此时的值;若不存在,说明理由注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分【答案】答案不唯一,具体见解析【解析】先对函数化简得,由函数的最小正周期为,可得,则,若选,则有,从而可求出的值,进而可求出函数的解析式,再利用换元法可求得最值;若选,则有,从而可求出的值,然后利用换元法可求得最值;若选,则有,从而可求出的值,再利用换元法可求最值即可【详解】解:,由已知函
24、数的周期,求得,所以,若选,则有,解得,又因为,所以,所以,当时,所以当,即时,函数取得最大值,最大值为若选,则有,解得,又因为,所以,所以,当时,所以当,即时,函数取得最大值,最大值为若选,则有,解得,又因为,所以,所以,当时,显然,函数在该区间上没有最大值72(2021全国高三专题练习)在中,(1)求B;(2)若,的面积为,求的周长【答案】(1);(2).【解析】(1)由已知三角函数的等量关系,结合两角和正弦公式得,根据正弦定理、三角形内角的性质,即可求B;(2)由三角形面积公式求出、,再根据余弦定理求,即可求的周长【详解】(1)由,得,即,由正弦定理,得,又,即,(2)由的面积为,得,解得,即由余弦定理,可得,解得的周长为