1、三角函数与解三角形五、解答题46（2021江苏常州市高三一模）在中，点D在边上，满足.（1）若，求；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，由正弦定理求得，得到的大小，进而求得的大小；（2）由，得到，根据向量的线性运算，求得，进而得到，求得的长，利用面积公式，即可求解.【详解】（1）在中，由正弦定理得，所以，因为，所以或，当时，可得，可得；当时，可得，因为（舍去），综上可得.（2）因为，所以，由，所以，即，又由，可得，解得，则，所以.47（2021河北邯郸市高三一模）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（1）求的值；（2）若点D为边的中点，求的值【答案】（1
2、）4；（2）【解析】（1）由，带入余弦定理整理可得，所以，带入即可得解；（2）作边上的高，垂足为E，因为，所又，所以，因为点D为边的中点且，所以，再根据勾股定理即可得解.【详解】（1）因为，所以，即又，所以（2）如图，作边上的高，垂足为E，因为，所以又，所以因为点D为边的中点，所以在直角三角形中，所以在直角三角形中，所以48（2021全国高三专题练习）如图，在中，点，是线段（含端点）上的动点，且点在点的右下方，在运动的过程中，始终保持不变，设弧度（1）写出的取值范围，并分别求线段，关于的函数关系式；（2）求面积的最小值【答案】（1），；（2）【解析】（1）依据直角三角形直接写出的范围，然后根据
3、正弦定理可得，关于的函数关系式.（2）根据（1）的条件可得，并结合辅助角公式，简单计算以及判断即可.【详解】（1）由题意知，（2）当且仅当时，取“”49（2021全国高三专题练习）在中，分别为角，的对边，且.（1）求角；（2）若的面积为，边上的高，求，.【答案】（1）；（2），.【解析】（1）化角为边，化简得，再利用余弦定理求角；（2）由正弦定理算出，由面积公式算出，由余弦定理计算中即可.【详解】解：（1）因为，所以，所以，即.由余弦定理可得，因为，所以.（2）由正弦定理可得.因为的面积为，所以，解得.由余弦定理可得，则.50（2021湖南高二月考）如图，在平面四边形ABCD中，ADCD， B
4、AD=，2AB=BD=4.（1）求cosADB；（2）若BC=，求CD.【答案】（1）；（2）【解析】（1）中，利用正弦定理可得，进而得出答案；（2）中，利用余弦定理可得【详解】（1）中，即，解得，故；（2）中，即，化简得，解得51（2021山东高三专题练习）在中，内角，的对边分别为，且.（1）求角；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理化角为边，然后由余弦定理可得角；（2）利用余弦定理和已知可求得，从而得三角形面积【详解】（1）由正弦定理，得，又，所以.由余弦定理，得，故.又，所以.（2）由余弦定理，得.联立方程组，得，化简，得，解得，所以的面积.52（2021
5、全国高三专题练习）在圆内接四边形中，求面积的最大值.【答案】最大值为【解析】因为四边形是圆内接四边形，求得，得到，由正弦定理，求得，在中，由余弦定理和基本不等式，求得，即可求解.【详解】因为四边形是圆内接四边形，可得，又因为，所以，在中，因为，可得，由正弦定理得，所以得，在中，由余弦定理得，即，当且仅当时，取等号，即，所以，即面积的最大值为.53（2021山东枣庄市高三二模）若的部分图象如图所示，.（1）求的解析式；（2）在锐角中，若，求，并证明.【答案】（1）；（2），证明见解析.【解析】（1）由结合的取值范围可求得的值，再结合可求得的值，进而可得出函数的解析式；（2）求出的取值范围，由已知
6、条件求出的值，利用同角三角函数的基本关系及二倍角的降幂公式可求得的值，然后利用两角和的正弦公式可证明得出.【详解】（1）由，得，又，故.由，得，所以，即，由，结合函数图象可知，所以.又，所以，从而，因此，；（2）由，所以，故.，于是.所以，.又，故.又在上单调递增，所以.54（2021河北唐山市高三二模）在中，角，的对边分别为，边上的高为（1）若，求的周长；（2）求的最大值【答案】（1）；（2）【解析】（1）由三角形面积公式可得，结合余弦定理，可得，即可得的周长；（2）由（1）和正弦定理可得，转化为三角函数以后利用辅助角公式化简运算，由，根据三角函数的性质求解最大值.【详解】解：（1）依题意，
7、可得，因为，所以由余弦定理得，因此，即故的周长为（2）由（1）及正弦定理可得，（其中为锐角，且）由题意可知，因此，当时，取得最大值55（2021辽宁高三二模）已知在锐角中，角，的对边分别为，的面积为，若，.（1）求；（2）若_，求的面积的大小.(在，这两个条件中任选一个，补充在横线上)【答案】（1）；（2）条件选择见解析；.【解析】（1）利用三角形面积公式由，得到，再利用余弦定理求解； （2）若选，由，易得，再结合（1）利用正弦定理求得a，再利用三角形面积公式求解；若选，由，利用余弦定理得易得，再利用三角形面积公式求解.【详解】（1）因为， 所以，即，所以，故，因为，所以.（2）若选，因为，所
8、以，所以.因为，所以.由正弦定理，得，所以.所以.若选，因为，由余弦定理得，解得.56（2021江苏盐城市高三二模）在；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且， ？【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】根据三角形内角和为及题干条件，结合两角和与差的正弦公式，可求得角A，选择，利用正弦定理可得，根据角B的范围，可求得，或.当时，求得角C，即可求得面积，当时，根据正弦定理，求得b，即可求得面积；选择，根据余弦定理，可求得，即可求得a，b，进而可求得面积；选择，根据正弦定理，可得，与题干
9、条件矛盾，故不存在.【详解】解：在中，所以因为，所以，即，所以在中，所以，所以因为，所以选择：因为，由正弦定理得，因为，所以，或，此时存在当时，所以，所以的面积为当时，所以，所以的面积为选择：因为，所以，得，所以，此时存在因为，所以所以的面积为.选择：由，得，这与矛盾，所以不存在57（2021湖南衡阳市高三一模）中，角，的对边分别为，且，成等差数列.（1）若，求；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由等差数列得，由正弦定理化边为角，利用得，代入可求得角；（2）由余弦定理表示出，代入，用基本不等式得的范围，从而得角范围【详解】（1），成等差数列，当时，即，而，（2）由余弦定
10、理及，当时取等号.结合余弦函数的单调性可知：.58（2021辽宁铁岭市高三一模）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答的内角、的对边分别为、，若，_求和【答案】选择见解析，【解析】选择条件，利用正弦定理结合余弦定理求出的值，结合角的取值范围可求得的值，由正弦定理结合条件可得出，由三角形的内角和定理以及三角恒等变换思想求出，由角的取值范围可求得结果；选择条件，利用诱导公式、正弦定理以及三角恒等变换思想求出的值，结合角的取值范围可求得角的值，由正弦定理结合条件可得出，由三角形的内角和定理以及三角恒等变换思想求出，由角的取值范围可求得结果；选择条件，由正弦定理以及两角差的正弦公式可求得的值
11、，结合角的取值范围可求得角的值，由正弦定理结合条件可得出，由三角形的内角和定理以及三角恒等变换思想求出，由角的取值范围可求得结果.【详解】（1）选择条件，由及正弦定理知，整理得，由余弦定理可得，又因为，所以，又由，得，由，得，即，即，即，整理得，因为，所以，从而，解得；选择条件，因为，所以，由得，由正弦定理知，可得，所以，可得，所以，故.以下过程同（1）解答；选择条件，由，及正弦定理知，则，从而，则，解得，又因为，所以，以下过程同（1）解答59（2021山东烟台市高三一模）将函数图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象.（1）求函数的解析式及单调递增
12、区间；（2）在中，内角的对边分别为，若，求的面积.【答案】（1），单调递增区间为：；（2）或.【解析】（1）由题可得，令即可解得单调递增区间；（2）由题可得，或，由余弦定理可求得，即可求出面积.【详解】（1），图象向右平移个单位长度得到的图象，横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)得到图象，所以，令，解得，所以的单调递增区间为：（2）由（1）知，因为，所以又因为，所以，当时，此时由余弦定理可知，解得，所以，当时，此时由勾股定理可得，所以.60（2021广东汕头市高三一模）在中，角的对边分别为，已知：（1）求边的长和三角形的面积；（2）在边上取一点D，使得，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】（1
13、）法一：中，由余弦定理求的长，应用三角形面积公式求的面积；法二：过作出高交于，在所得直角三角形中应用勾股定理求，即可求，由三角形面积公式求的面积；（2）由正弦定理、三角形的性质、同角三角函数的关系，法一：求、，由结合两角差正弦公式求值即可；法二：求、，再由结合两角和正切公式求值即可；法三：由（1）法二所作的高，直角中求，进而求，再根据正弦定理及同角三角函数关系求值即可.【详解】（1）法一：在中，由，由余弦定理，得，解得或（舍），所以，.法二：（1）过点作出高交于，即为等腰直角三角形，同理为直角三角形，故，.（2）在中，由正弦定理，即，得，又，所以为锐角，法一：由上，由（为锐角），得，由图可知：
14、为锐角，则，所以.法二：由上，由（为锐角），得，故.法三：为直角三角形，且，所以，在中，由正弦定理得，故，由图可知为锐角，则，所以.61（2021聊城市山东聊城一中高三一模）在中，内角，所对的边分别为，.请在；这三个条件中任选一个，完成下列问题（1）求角；（2）若，延长到点，使，求线段的长度.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）条件选择见解析，；（2）.【解析】（1）利用所选条件，应用正余弦定理的边角关系、三角形面积公式，化简条件等式，结合三角形内角的性质，求角；（2）由正余弦定理，结合诱导公式及两角和正弦公式求，进而求的长度.【详解】（1）若选：，又，即，又，即，故
15、.若选：，即，又，又，若选：由，则有，又，.（2）中，由余弦定理：，得或 (舍)，由，可得，中，由正弦定理得：，即，解得，.62（2021山东滨州市高三一模）在平面四边形中，对角线与交于点，是的中点，且（1）若，求的长；（2）若，求【答案】（1）； （2）.【解析】（1）由正弦定理求得，易得，然后在中由余弦定理得；（2）设，在和中用余弦定理列方程求得，然后再由余弦定理求得【详解】解：（1）在中，由正弦定理得，所以，因为，所以所以，所以，所以因为，所以由余弦定理得，所以（2）因为，所以设，在中，由余弦定理得在中，由余弦定理得，所以，解得所以在中，由余弦定理得，63（2021山东德州市高三一模）在
16、，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答问题：在中，角，的对边分别为，外接圆面积为，且_，求的面积【答案】【解析】先通过选的条件计算出角，再根据外接圆面积求出半径，然后利用正弦定理算出，再根据，得到边的关系，结合余弦定理算出三角形的边，最后利用面积公式即可获解.【详解】若选：因为，在中，由正弦定理得，因为，所以，所以，即，所以，因为，所以，因为外接圆面积为，所以半径，由得，又，所以，由余弦定理得，解得，即，所以若选：由正弦定理得，化简得：，因为，所以，所以，因为，所以其余步骤同若选：由正弦定理得：，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以其余步骤同64（2021全国高三专题练习）在
17、中，分别为内角，所对的边，若.（1）求的大小；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）1.【解析】(1)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得A的大小；(2)由题意结合(1)的结论和三角函数的性质可得的最大值.【详解】（1）由己知，根据正弦定理得即由余弦定理得故，所以.（2）由（1）得：故当时，取得最大值1.65（2021全国高三专题练习）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.;.已知的内角的对应边分别为， .（1）求;（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】第（1）小问：方案中是利用正弦定理将边转化为角的关系，化简后求得；方案首先利用正弦定理将边长之比转
18、化为角的正弦之比，再化简求得；方案利用两角和的正切公式将化成，再利用对式子进行化简得到；第（2）小问：由余弦定理可以得到关于的关系式，再结合可求得，最后求得三角形的面积即可.【详解】方案：由已知及正弦定理得所以，所以又，所以，所以所以方案：由已知正弦定理得所以即又，所以所以所以方案：因为所以即又，所以，所以所以由余弦定理，得即，又因为所以所以66（2021广东广州市高三一模）已知的内角的对边分别为，且，.（1）求；（2）求的周长.【答案】（1）；（2）9【解析】（1）应用二倍角公式和诱导公式变形已知等式可求得；（2）由正弦定理化角为边，然后再结合余弦定理可求得，从而得三角形周长【详解】（1）因
19、为，所以，因为，所以，；（2）因为.所以，又，即，所以，所以67（2021山东济宁市高三一模）已知的三个内角，的对边分别是，且（1）求角；（2）若，的面积为，求的值【答案】（1）；（2）6.【解析】（1）由正弦定理把条件转化为角的关系，再由两角和的正弦公式及诱导公式得的关系式，从而可得结论；（2）首先可根据解三角形面积公式得出，然后根据余弦定理计算出.【详解】（1）因为由正弦定理得，所以因为所以，所以，所以（2）因为的面积为，所以，因为，所以，所以由余弦定理得，因为，所以，所以68（2021浙江高一单元测试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，.（1）求A；（2）若，且边上的
20、高为，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】（1）先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得；（2）由余弦定理用表示，然后把三角形的面积用两种方法表示求得，从而可计算出面积【详解】（1）由得，由余弦定理得，所以，由正弦定理得，是三角形内角，所以，又A为锐角，所以（2）由（1），所以，即，69（2021全国高三专题练习）在中，角所对的边分别为已知，面积，再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长.（1）;（2）.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】【解析】利用三角形的面积公式，结合已知面积变形可得，再利用所选条件结合正弦定理求出另外两边，可得三角形的周
21、长.【详解】由三角形的面积公式可知，整理得由正弦定理得:因为，若选择条件（1）由：得，则，又为三角形的内角，由正弦定理得代入解得，三角形的周长为若选择条件（2），则由，得又，又为三角形的内角，.由正弦定理得: ，代入解得，三角形的周长为70（2021全国高三专题练习）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求出其面积；若不存在，说明理由.问题：是否存在，它的内角、所对的边分别为、，且，_？【答案】答案见解析【解析】选，利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换思想化简得出的值，结合角的取值范围可求得角的值，再结合余弦定理可求得，结合解出、的值，利用三角形的面积公式可求得的面积；选
22、，利用诱导公式、二倍角的正弦公式化简得出，结合角的取值范围可求得角的值，利用余弦定理求出，结合基本不等式推出矛盾，进而可得出结论；选，由二倍角的余弦公式可得出关于的二次方程，求出的值，结合角的取值范围可求得角的值，结合已知条件求出、的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】解：选择条件：由正弦定理可得，由于，可得，化简可得，即，因为，所以，由余弦定理可得，解得，解得，因此；选择条件：因为，即，由正弦二倍角公式可得：，则，所以，所以，所以即，由余弦定理可得，由已知可得，由基本不等式可得，所以不存在满足条件的；选择条件：由余弦二倍角公式可得：，解得或（舍去），因为，所以，由余弦定理得：，解得
23、，解得，因此；71（2021全国高三专题练习）在函数的图象关于直线对称，函数的图象关于点对称，函数的图象经过点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答问题：已知函数最小正周期为，且 ，判断函数在上是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时的值；若不存在，说明理由注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】先对函数化简得，由函数的最小正周期为，可得，则，若选，则有，从而可求出的值，进而可求出函数的解析式，再利用换元法可求得最值；若选，则有，从而可求出的值，然后利用换元法可求得最值；若选，则有，从而可求出的值，再利用换元法可求最值即可【详解】解：，由已知函
24、数的周期，求得，所以，若选，则有，解得，又因为，所以，所以，当时，所以当，即时，函数取得最大值，最大值为若选，则有，解得，又因为，所以，所以，当时，所以当，即时，函数取得最大值，最大值为若选，则有，解得，又因为，所以，所以，当时，显然，函数在该区间上没有最大值72（2021全国高三专题练习）在中，（1）求B；（2）若，的面积为，求的周长【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知三角函数的等量关系，结合两角和正弦公式得，根据正弦定理、三角形内角的性质，即可求B；（2）由三角形面积公式求出、，再根据余弦定理求，即可求的周长【详解】（1）由，得，即，由正弦定理，得，又，即，（2）由的面积为，得，解得，即由余弦定理，可得，解得的周长为