1、第六章 不等式、推理与证明第35讲 不等式的性质与基本不等式【学习目标】掌握不等式的性质和基本不等式ab2 ab(a，b0)，会应用不等式的性质进行数或式的大小比较，会利用不等式的性质研究不等关系，会应用基本不等式求解简单的最值问题【基础检测】1设 ab1bB.1ab1aC.a b Da2b2B2已知 0a1；log2alog2b2；log2(ba)1.其中一定成立的不等式有()A0 个B1 个C2 个D3 个C3设 a，b，cR，且 ab，则()AacbcB.1a1bCa2b2Da3b3D【解析】D 项可根据幂函数 yx3 在定义域 R上单调递增得出，对于其他选项可根据不等式性质排除或者采用
2、特值法排除 4(2015 福建)若直线xayb1(a0，b0)过点(1，1)，则 ab 的最小值等于()A2 B3C4 D5C【解析】将点的坐标代入直线的方程，得到 a，b 所满足的关系式，再利用基本不等式求最值 将(1，1)代入直线xayb1 得1a1b1，a0，b0，故 ab(ab)(1a1b)2baab224，等号当且仅当 ab 时取到，故选 C.5下列不等式一定成立的是_(填序号)lgx214 lg x(x0)；sin x 1sin x2(xk，kZ)；x212|x|(xR)；1x210 时，x2142x12x，所以 lgx214 lg x(x0)，故正确；而当 xk，kZ 时，sin
3、 x 的正负不定，故不正确；由基本不等式可知，正确；当 x0 时，有1x211，故不正确【知识要点】1不等式的定义用不等号“_”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫做不等式2比较两数大小的常用方法作差比较法：作差变形(通分、因式分解等)判断符号，ab0_；ab0_；ab，ababa0，ab1_；ab1_，b0；abb_；(2)传递性：ab，bc_；(3)可加性：ab_；ab，cd_；abababbcacbcacbd (4)可乘性：ab，c0_；ab，cb0，cd0_；(5)倒数法则：ab，ab0_；(6)乘方性质：ab0_(n2，nN*)；(7)开方性质：ab0_(n2，nN*)acbcac
4、bdanbn1an b 4基本不等式(1)a2b2_2ab；变式：a2b22_，当且仅当 ab 时等号成立(2)如果 a0，b0，则ab2 _ ab；变式：abab22，当且仅当 ab 时，等号成立其中ab2 叫做正数 a、b 的_，ab叫做正数 a、b 的_算术平均值几何平均值ab22(3)几个重要的不等式baab_(a，b 同号)，a2b22ab22(a，bR)(4)利用基本不等式求最值已知 x0，y0，如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当_时，xy 有最_值是_(简记：积定和最小)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当_时，xy 有最_值是_(简记：和定积最大)2xy小xy大2 pp2
5、4一、不等式性质的应用例 1(1)设 ab1，ccb；acloga(bc)其中所有的正确结论的序号是【解析】(1)由不等式的基本性质可知对；幂函数 yxc(cb1，所以对；由对数函数的单调性可得 logb(ac)logb(bc)，又由对数的换底公式可知logb(bc)loga(bc)，所以 logb(ac)loga(bc)，故选项正确(2)已知下列四个条件：b0a，0ab，a0b，ab0，能推出1ab，ab0 可得1a1b，、正确又正数大于负数正确，错误，故选 C.C【解析】因为 cdd0，所以1d 1c0.又 ab0，所以 ad bc，所以adb0，cdbcB.adbdD.acbdB【点评】
6、(1)对于不等式的性质，关键是理解和运用，要弄清每一条性质的条件和结论，注意条件(特别是符号的限制条件)改变后，结论是否发生变化；不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两种情况，“单向性”主要用于证明不等式，“双向性”主要用于解不等式，因为解不等式必须是同解变形，因而要准确把握不等式的性质(2)判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题或填空题用特殊值验证的方法更方便(3)不等式性质源于实数正负相关结论，因此在准确运用不等式进行不等关系推导过程中，也有必要考虑实数正负理论的运用 二、数或式的大小比较例 2 已知12aABD【解析】12aABD
7、.CA 11a(1a2)a（a2a1）1a aa122341a 1a0，a0，a122340，CA.AB(1a2)(1a2)2a20，AB.B D 1 a2 11a a（a2a1）1aaa122541a.12a0.又a122541212254D.综上所述，CABD.三、利用基本不等式求最值例 3(1)已知 x0，y0，且2x1y1，若 x2ym22m 恒成立，则实数 m 的取值范围是()A(，24，)B(，42，)C(2，4)D(4，2)D【解析】(1)x0，y0 且2x1y1，x2y(x2y)2x1y 44yx xy424yx xy8，当且仅当4yx xy，即 x4，y2 时取等号，(x2y
8、)min8，要 x2ym22m 恒成立，只需(x2y)minm22m 恒成立，即 8m22m，解得4m0，b0，且 aba4b12，则 ab的最大值为_4【解析】(2)a0，b0，由 aba4b12 a 4b 12 ab2a4b 4ab (ab 6)(ab2)0 ab2ab4，ab 最大值为4.(3)设正实数 x，y，z 满足 x23xy4y2z0.则当 zxy取得最小值时，x2yz 的最大值为()A0 B.98C2 D.94C【解析】由 x23xy4y2z0 可得 zx23xy4y2，故 zxyx23xy4y2xyxy4yx 32 431，当且仅当xy4yx，即 x2y 时等号成立；这时 z
9、x23xy4y22y2.故 x2yz4y2y22(y1)22，因此当 y1 时，(x2yz)max2.故选 C.【点评】利用基本不等式解决问题的关键是要注意定理成立的三个条件“一正，二定，三相等”，同时要注意创设应用均值不等式的条件，合理拆分或配凑是常用的解题技巧，而“拆”与“凑”的原则在于使“和式”或“积式”为定值，“和定积最大，积定和最小”，并且注意验证等号的可取性四、基本不等式的实际应用例 4(1)要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是()A80 元B120 元C160 元D
10、240 元(2)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 x 为_(m)C20【解析】(1)设底面矩形的一条边长是 x m，总造价是 y 元，把 y 与 x 的函数关系式表示出来，再利用均值(基本)不等式求最小值 由题意知，体积 V4 m3，高 h1 m，所以底面积 S4 m2，设底面矩形的一条边长是 x m，则另一条边长是4x m，又设总造价是 y 元，则 y204102x8x 8020 2x8x160，当且仅当 2x8x，即 x2 时取得等号(2)设 DEx，MNy，由三角形相似得：x40ADABANAM40y40，即 x4040y40，即 xy4
11、0，由均值不等式可知 xy402 xy，Sxy400，当 xy20 时取等号，所以当 x20 m 时面积最大【点评】本题以实际问题为背景，主要考查函数、方程、不等式等基础知识，考查函数思想，方程思想，化归与转化思想的应用备选题例 5(1)设 abc0，则 2a2 1ab1a（ab）10ac25c2 的最小值是()A2 B4 C2 5D5(2)设 x，y 为实数，且满足 3xy28，4x2y9，则x3y4的最大值是_B27【解析】(1)abc0，2a2 1ab1a（ab）10ac25c2 a(ab)1a（ab）ab 1ab(a5c)2 2a（ab）1a（ab）2ab 1ab04，当且仅当 a5c
12、 且 a(ab)1a（ab）且 ab 1ab，即 a 2，b 22，c 25 时等号成立，故选 B.(2)由 4x2y 9 得 16x4y281，又 3xy28 得18 1xy213，两式相乘得 2x3y427，又 x3，y1 时满足条件，且x3y427.故x3y4的最大值为 27.【点评】(1)本题主要考查不等式的性质，最值的概念及运算能力(2)本题主要考查基本不等式及变形能力1运用不等式的基本性质解决不等式问题，要注意不等式成立的条件，如性质(5)中要求乘数大于 0，性质(6)、(7)中还要求 nN 且 n1.2比较数(式)大小，一般用：(1)作差法，具体步骤：作差变形判断(与 0 比较)
13、结论；(2)作商法，具体步骤：作商变形判断(与 1 比较)结论，注意分母的符号3判断不等式是否成立，一般可用不等式性质、函数性质、基本不等式进行推理，也可以利用特殊值法对命题进行否定4实际中的不等量问题的建模：(1)将每个量用数或代数式表示；(2)用不等号连接5a2b22ab 成立的条件是 a，bR，而ab2 ab成立，则要求 a0，b0.6利用基本不等式求最值，要注意使用条件：一正(各数为正)，二定(和或积为定值)，三等(等号在允许取值范围内能取到)，要熟悉均值不等式的各种变形如yax2bxcxaxcxb.7连续使用以上公式中的任一个或两个，取等号的条件要在同一条件下取得，方可取到最值(20
14、15 山东)定义运算“”：xyx2y2xy(x，yR，xy0)当 x0，y0 时，xy(2y)x 的最小值为_.2【解析】先利用新定义写出解析式，再利用重要不等式求最值 因为 xyx2y2xy，所以(2y)x4y2x22xy.又x0，y0，故 xy(2y)xx2y2xy4y2x22xyx22y22xy2 2xy2xy 2，当且仅当 x 2y 时，等号成立1下列函数中，最小值为 4 的是()Ayx4xBysin x 4sin x(0 x0，故不能直接运用基本不等式，不对；B 中虽然 x(0，)，sin x0，但运用基本不等式后，等号成立的条件是 sin x4sin x即 sin x2，所以等号取
15、不到，故不对；C中 3x0，可直接运用基本不等式 3x43x2 44，当且仅当 3x 43x，即 3x2，xlog32 时取等号，故正确；D 中由于没有给出 x 的范围，所以 lg x 不一定大于 0，故不对2已知正整数 a、b 满足 4ab30，使得1a1b取得最小值的实数对(a，b)是()A(5，10)B(6，6)C(10，5)D(7，2)A 3给出下列四个命题：若 ab0，则1a1b；若 ab0，则 a1ab1b；若 ab0，则2aba2bab；设 a，b 是互不相等的正数，则|ab|1ab2.其中正确命题的序号是_(把你认为正确命题的序号都填上)【解析】作差可得1a1bbaab，而 a
16、b0，则baab b0，则1a1b，所以可知 a1ab1b正确 2aba2b ab b（2ab）a（a2b）（a2b）bb2a2（a2b）b（ba）（ba）（a2b）b0，错误 当 ab2a；a2b22ab32；7 10 3 14.其中恒成立的不等式共有_个2【解析】因为 a22a1(a1)20，所以不恒成立；对于，a2b22a2b3(a1)2(b1)210，所以恒成立；对于，(7 10)2(3 14)22 702 420，且 7 100，3 140，所以 7 10 3 14，即恒成立8若 log4(3a4b)log2 ab，则 ab 的最小值是【解析】先判断 a，b 的符号，再将已知的式子转
17、化为关于 a，b 的方程，最后根据基本不等式求解 由题意得 ab0，3a4b0，所以a0，b0.又 log4(3a4b)log2 ab，所以 log4(3a4b)log4ab，所以 3a4bab，故4a3b1.所以 ab(ab)4a3b 73ab 4ba 72 3ab 4ba 74 3，当且仅当3ab 4ba 时取等号74 39已知 lg(3x)lg ylg(xy1)(1)求 xy 的最小值；(2)求 xy 的最小值【解析】由 lg(3x)lg ylg(xy1)，得x0，y0，3xyxy1.(1)x0，y0，3xyxy12 xy1，3xy2 xy10，即 3(xy)22 xy10，(3 xy1)(xy1)0，xy1，xy1，当且仅当 xy1 时，等号成立 xy 的最小值为 1.(2)x0，y0，xy13xy3xy22，3(xy)24(xy)40，3(xy)2(xy)20，xy2，当且仅当 xy1 时取等号，xy 的最小值为 2.
