1、课时跟踪检测(三十一)抛物线及其标准方程A级基础巩固1过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为()A圆B椭圆C直线 D抛物线解析：选D如图，设点P为满足条件的一点，因为点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，所以点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线，故选D.2若抛物线x22py(p0)的焦点与椭圆1的上焦点重合，则该抛物线的准线方程为()Ay1 By1Cy2 Dy2解析：选C椭圆1的上焦点坐标为(0，2)，抛物线的焦点坐标为(0，2)，抛物线的准线方程为y2，故选C.3已知抛物线的焦点为F(a，0)(a0)，则抛物线的标准方程是()Ay22ax By24axCy22
2、ax Dy24ax解析：选B因为抛物线的焦点为F(a，0)(a0)，所以抛物线的标准方程为y24ax，故选B.4已知F是抛物线y24x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|NF|8，则MN的中点到准线的距离为()A5 B4C3 D.解析：选BF是抛物线y24x的焦点，F(1，0)，准线方程为x1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，|MF|NF|x11x218，解得x1x26，线段MN中点的横坐标为3，线段MN的中点到准线的距离为314.5(多选)已知抛物线y24x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x3y110的距离为d2，则d1d2的值可以为()A3 B4C. D.解析：选ABD抛
3、物线上的点P到准线的距离等于P到焦点F(1，0)的距离，所以点F到直线4x3y110的距离为d1d2的最小值，所以(d1d2)min3，即d1d23，故选A、B、D.6抛物线y12x2上的点到焦点的距离的最小值为_解析：将方程化为标准形式是x2y，因为2p，所以p.故到焦点的距离最小值为.答案：7已知抛物线C：4xay20恰好经过圆M：(x1)2(y2)21的圆心，则抛物线C的焦点坐标为_，准线方程为_解析：圆M的圆心为(1，2)，代入4xay20得a1，将抛物线C的方程化为标准方程得y24x，故焦点坐标为(1，0)，准线方程为x1.答案：(1，0)x18已知抛物线y22px(p0)上一点M(
4、1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a_解析：根据抛物线的定义得15，p8.不妨取M(1，4)，则AM的斜率为2，由已知得21，故a.答案：9根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)焦点到准线的距离是5；(2)焦点F在y轴上，点A(m，2)在抛物线上，且|AF|3.解：(1)由题意知p5，则2p10.因为没有说明焦点所在坐标轴和开口方向，所以四种类型的抛物线都有可能，故标准方程可为y210x，y210x，x210y，x210y.(2)由题意可设抛物线的标准方程为x22py(p0)由|AF|3，得23，所以p2.所以抛物线的标准方程为x
5、24y.10已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x22py(p0)，则焦点F，准线l：y，作MNl，垂足为N，则|MN|MF|5，又|MN|3，所以35，即p4.所以抛物线方程为x28y，准线方程为y2.由m28(3)24，得m2.法二：设所求抛物线方程为x22py(p0)，则焦点为F.因为M(m，3)在抛物线上，且|MF|5，故解得所以抛物线方程为x28y，m2，准线方程为y2.B级综合运用11若点A的坐标为(3，2)，F是抛物线y22x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|MA|
6、取得最小值的M的坐标为()A(0，0) B.C(1，) D(2，2)解析：选D点A的坐标为(3，2)，所以点A在抛物线内过点M作准线的垂线，垂足为N，则|MF|MA|MN|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|MA|取得最小值，此时M(2，2)12(多选)已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，若PFx60，则()APQF为等边三角形 B|PQ|4CSPQF4 DxP4解析：选ABC如图，因PQx轴，QPFPFx60，由抛物线定义知|PQ|PF|，PQF为等边三角形因F(1，0)，过F作FMPQ，垂足为M.xM1，|MQ|2.|PQ|4，SPQF2
7、44，xP3.故选A、B、C.13对标准形式的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)其中满足抛物线方程为y210x的是_(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线y210x的焦点在x轴上，满足，不满足；设M(1，y0)是y210x上一点，则|MF|116，所以不满足；由于抛物线y210x的焦点为，过该焦点的直线方程为yk，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k2，此时存在，所以满足答案：14动圆P与定圆A：(x2)2y21外切，且与直线l：x1相切，求动圆圆心P的轨迹方程解：如图，设动
8、圆圆心P(x，y)，过点P作PDl于点D，作直线l：x2，过点P作PDl于点D，连接PA.设圆A的半径为r，动圆P的半径为R，可知r1.圆P与圆A外切，|PA|RrR1.又圆P与直线l：x1相切，|PD|PD|DD|R1.|PA|PD|，即动点P到定点A与到定直线l的距离相等，点P的轨迹是以A为焦点，以l为准线的抛物线设抛物线的方程为y22px(p0)，可知p4，所求动圆圆心P的轨迹方程为y28x.C级拓展探究15如图所示，A地在B地东偏北45方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建
9、造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电(1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程；(2)问变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度解：(1)如图所示，以过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立直角坐标系Oxy，则B(0，2)，A(2，4)因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B(0，2)为焦点，l为准线的抛物线设抛物线方程为x22py(p0)，则p4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x28y.(2)要使架设电路所用电线长度最短，即|MA|MB|的值最小如图所示，过M作MHl，垂足为H，依题意得|MB|MH|，所以|MA|MB|MA|MH|，故当A，M，H三点共线时，|MA|MH|取得最小值，即|MA|MB|取得最小值，此时M.故变电房M建在A地正南方向且与A地相距 km处时，所用电线长度最短，最短长度为6 km.
