1、模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1直线x3y30的倾斜角为()A30B30C120 D150解析:选D设直线的倾斜角为,因为直线x3y30的斜率ktan ,所以倾斜角150.故选D.2已知直线l过点P(1,),圆C:x2y24,则直线l与圆C的位置关系是()A相切 B相交C相切或相交 D相离解析:选C因为P(1,)在圆C上,所以直线l与圆C相切或相交,故选C.3若双曲线C1:1与C2:1(a0,b0)的渐近线相同,且双曲线C2的焦距为4,则b()A2B4C6 D8解析:选B由题
2、意得,2b2a.因为C2的焦距2c4,所以c2.联立,得b4,故选B.4直线x2y20关于直线x1对称的直线方程是()Ax2y40 B2xy10C2xy30 D2xy40解析:选A法一:设P(x,y)为所求直线上的点,该点关于直线x1的对称点为(2x,y),且该对称点在直线x2y20上,代入可得x2y40.故选A.法二:直线x2y20与直线x1的交点为P,则所求直线过点P.因为直线x2y20的斜率为,所以所求直线的斜率为,故所求直线的方程为y(x1),即x2y40.故选A.5.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动
3、点P的轨迹所在的曲线是()A直线 B圆C双曲线 D抛物线解析:选DP到直线BC与直线C1D1的距离相等,又ABCDA1B1C1D1是正方体,D1C1侧面BCC1B1.D1C1PC1,PC1为点P到直线D1C1的距离,即PC1等于点P到直线BC的距离,由圆锥曲线的定义知,动点P的轨迹所在的曲线是抛物线6已知双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析:选C以F1F2为直径的圆的方程为x2y2c2,又因为点(3,4)在圆上,所以3242c2,所以c5,双曲线的一条渐近线方程为yx
4、,且点(3,4)在这条渐近线上,所以,又a2b2c225,解得a3,b4,所以双曲线的方程为1,故选C.7设抛物线C:y24x的焦点为F,直线l过点F且与C交于A,B两点若|AF|3|BF|,则l的方程为()Ayx1或yx1By(x1)或y(x1)Cy(x1)或y(x1)Dy(x1)或y(x1)解析:选C由抛物线方程y24x知焦点F(1,0),准线x1,由题可设直线l:xmy1,代入y24x中消去x,得y24my40.设A(x1,y1),B(x2,y2)由根与系数的关系得,y1y24m,y1y24.设y10y2,|AF|3|BF|,y13y2,由解得y2,y12.m,直线l的方程为xy1.由对
5、称性知,这样的直线有两条,即y(x1)8抛物线M:y24x的准线与x轴相交于点A,点F为焦点,若抛物线M上一点P满足PAPF,则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为(参考数据:2.24)()A. B.C. D.解析:选D由题意知,A(1,0),F(1,0),点P在以AF为直径的圆O:x2y21上设点P的横坐标为m,联立圆O与抛物线的方程得x24x10,m0,m2,点P的横坐标为2,|PF|m11,圆F的方程为(x1)2y2(1)2,令x0,可得y,设圆F与y轴相交于D,E两点,|ED|22.故选D.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的四个选项中,有多个选项
6、是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9下列说法中,正确的有()A直线yax3a2(aR)必过定点(3,2)B直线y3x2在y轴上的截距为2C直线xy10的倾斜角为30D点(5,3)到直线x20的距离为7解析:选ACD对于A,化简得直线ya(x3)2,故直线必过定点(3,2),故A正确;对于B,直线y3x2在y轴上的截距为2,故B错误;对于C,直线xy10的斜率为,故倾斜角满足tan ,又0b0),双曲线方程为1(m0,n0),则解得a7,m3.则b6,n2.故椭圆方程为1,双曲线方程为1.(2)不妨设F1,F2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点,P是第一象限的交
7、点,则|PF1|PF2|14,|PF1|PF2|6,所以|PF1|10,|PF2|4.又|F1F2|2,所以cosF1PF2.19(本小题满分12分)等边ABC的边长为3,点D,E分别是AB,AC上的点,且满足(如图),将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使二面角A1DEB成直二面角,连接A1B,A1C(如图)(1)求证:A1D平面BCED;(2)在线段BC上是否存在点P,使直线PA1与平面A1BD所成的角为60?若存在,求出PB的长;若不存在,请说明理由解:(1)证明:题图中,由已知可得:AE2,AD1,A60.从而DE.故得AD2DE2AE2,所以ADDE,BDDE.所以题图中,A1DDE
8、,又平面ADE平面BCEDDE,A1DDE,A1D平面A1DE,所以A1D平面BCED.(2)存在由(1)知EDDB,A1D平面BCED.以D为坐标原点,以射线DB,DE,DA1分别为x轴,y轴,z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz,如图,过P作PHDE交BD于点H,设PB2a(02a3),则BHa,PHa,DH2a,易知A1(0,0,1),P(2a,a,0),E(0,0),所以(a2,a,1)因为ED平面A1BD,所以平面A1BD的一个法向量为(0,0),因为直线PA1与平面A1BD所成的角为60,所以sin 60,解得a.所以PB2a,满足02a3,符合题意所以在线段BC上存在点P,使直
9、线PA1与平面A1BD所成的角为60,此时PB.20(本小题满分12分)已知抛物线C:y23x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4,求l的方程;(2)若3,求|AB|.解:设直线l:yxt,A(x1,y1),B(x2,y2)(1)由题设得F,故|AF|BF|x1x2,由题设可得x1x2.由可得9x212(t1)x4t20,则x1x2,从而,解得t.所以l的方程为yx.(2)由3可得y13y2.由可得y22y2t0.所以y1y22.从而3y2y22,故y21,y13.代入C的方程得x13,x2.故|AB|.21(本小题满分12分)如图,平面AB
10、CD平面ADEF,其中ABCD为矩形,ADEF为梯形,AFDE,AFFE,AFAD2DE2.(1)求证:EF平面BAF;(2)若平面ABF与平面DBF夹角的余弦值为,求AB的长解:(1)证明:四边形ABCD为矩形,BAAD,平面ABCD平面ADEF,平面ABCD平面ADEFAD,BA平面ABCD,BA平面ADEF.又EF平面ADEF,BAEF.又AFEF,且AFBAA,EF平面BAF.(2)设ABx(x0)以F为坐标原点,AF,FE所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的空间直角坐标系,则F(0,0,0),E(0,0),D(1,0),B(2,0,x),(1,0),(2,0,x)由(1)知EF平面
11、ABF,平面ABF的一个法向量可取n1(0,1,0)设n2(x1,y1,z1)为平面DBF的一个法向量,则即取y11,则n2.cosn1,n2,解得x(负值舍去),AB.22(本小题满分12分)已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:ykx2与椭圆C相交于A,B两点,在y轴上是否存在点D,使直线AD与BD的斜率之和kADkBD为定值?若存在,求出点D坐标及该定值,若不存在,试说明理由解:(1)由已知可得解得a22,b2c21,所以椭圆的标准方程为y21.(2)由得(12k2)x28kx60,由64k224(12k2)16k2240,解得k或k.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2,设存在点D(0,m),则kAD,kBD,所以kADkBD.要使kADkBD为定值,只需6k4k(2m)6k8k4km2(2m1)k的值与参数k无关,故2m10,解得m,当m时,kADkBD0.综上所述,存在点D,使得kADkBD为定值,且定值为0.