1、22直线的方程22.1直线的点斜式方程新课程标准解读核心素养1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程数学抽象、数学运算2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题数学抽象、数学运算射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且射击手达到了上述的两个动作要求问题(1)托枪的手的位置相当于直线中哪个几何要素？(2)试从数学角度分析子弹是否会命中目标？知识点直线方程的点斜式、斜截式名称条件方程图形点斜式直线l过定点P0(x0，y0)，斜率为kyy0k(xx0)斜截式直线l的斜率为k，且
2、与y轴的交点为(0，b)(直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距)ykxb1若直线的倾斜角为0，且经过点P0(x0，y0)，能用点斜式表示吗？提示：能2直线与y轴的交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念吗？提示：不是同一概念，距离非负，而截距可正，可负，可为0.3直线方程的斜截式等同于一次函数的解析式吗？提示：不一定当k0时，ykxb即为一次函数，k0时，yb不是一次函数1已知直线的方程是y2x1，则()A直线经过点(2，1)，斜率为1B直线经过点(1，2)，斜率为1C直线经过点(2，1)，斜率为1D直线经过点(1，2)，斜率为1解析：选D直线方程y2x1可化为
3、y(2)x(1)，所以过定点(1，2)，斜率为1.2在y轴上的截距为2，且与直线y3x4平行的直线的斜截式方程为_解析：直线y3x4的斜率为3，所求直线与此直线平行，斜率为3，又截距为2，由斜截式方程可得y3x2.答案：y3x23已知直线l的方程为y(x1)，则l在y轴上的截距为_解析：由y(x1)，得yx9，l在y轴上的截距为9.答案：9直线的点斜式方程例1(链接教科书第60页例1)若直线l过点(2，1)，分别求l满足下列条件时的直线方程：(1)倾斜角为150；(2)平行于x轴；(3)垂直直线m：yx2.解(1)直线的斜率为ktan 150，所以由点斜式方程得y1(x2)，即方程为y1(x2
4、)(2)平行于x轴的直线的斜率k0，故所求的直线方程为y1.(3)km，则kl3.即直线l的方程为y13(x2)求直线的点斜式方程的思路注意只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程 跟踪训练根据条件写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(4，3)，斜率k3；(2)经过点B(1，4)，倾斜角为135；(3)经过点C(1，2)，且与y轴平行；(4)经过点D(2，1)和E(3，4)解：(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y33x(4)(2)由题意知，直线的斜率ktan 1351，故所求直线的点斜式方程为y4x(1)(3)直线与y轴平行，斜率不存在，直线的方程不能用点斜式表示由于直线上所
5、有点的横坐标都是1，故这条直线的方程为x1.(4)直线过点D(2，1)和E(3，4)，斜率k5.故所求直线的点斜式方程为y15(x2).直线的斜截式方程例2(链接教科书第62页练习3题)根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150，在y轴上的截距是2；(3)倾斜角为60，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y2x5.(2)由于直线的倾斜角为150，所以斜率ktan 150，由斜截式可得方程为yx2.(3)由于直线的倾斜角为60，所以斜率ktan 60.由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y
6、轴上的截距b3或b3，故所求直线方程为yx3或yx3.直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别；(2)直线的斜截式方程ykxb不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然因此，在解决一次函数的图象问题时，常通过把一次函数解析式化为直线的斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断 跟踪训练 求倾斜角是直线yx1的倾斜角的，且在y轴上的截距是5的直线方程解：直线yx1的斜率k，其倾斜角120，由题意，得所求直线的倾斜角130，故所求直线的斜率k1tan 30.所求
7、直线的斜率是，在y轴上的截距为5，所求直线的方程为yx5.两直线平行与垂直的应用角度一利用直线方程求平行与垂直的条件例3(链接教科书第61页例2)(1)当a为何值时，直线l1：yx2a与直线l2：y(a22)x2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y(2a1)x3与直线l2：y4x3垂直？解(1)由题意可知，k1，ka22，l1l2，解得a1.故当a1时，直线l1：yx2a与直线l2：y(a22)x2平行(2)由题意可知，k2a1，k4，l1l2，4(2a1)1，解得a.故当a时，直线l1：y(2a1)x3与直线l2：y4x3垂直角度二直线过定点问题例4求证：不论m为何值，直线l：y(m1)x
8、2m1总过第二象限证明法一：直线l的方程可化为y3(m1)(x2)，直线l过定点(2，3)由于点(2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限法二：直线l的方程可化为m(x2)(xy1)0.令解得无论m取何值，直线l总经过点(2，3)点(2，3)在第二象限，直线l总过第二象限1若l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则l1l2k1k2且b1b2；l1l2k1k21.2证明直线过定点的基本方法：(1)直接法：将已知的方程转化为点斜式、斜截式方程，进而得定点；(2)方程法：将已知方程整理成关于参数的方程，由于直线恒过定点，则关于参数的方程恒成立，进而求出定点如整理成f(x，y)ag(x，y)0，而该
9、方程关于a恒成立，则有f(x，y)0且g(x，y)0，其解就是所有直线都恒过的定点注意若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1b2这个条件 跟踪训练求证：不论a为何值，直线yax3a2(aR)恒过定点证明：将直线方程变形为y2a(x3)，由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3，2)1若直线l的倾斜角为45，且经过点(2，0)，则直线l的方程是()Ayx2Byx2Cyx Dyx2解析：选B由题得直线l的斜率为1，由点斜式求得直线l的方程为y0x2，即yx2.故选B.2方程yk(x2)表示()A通过点(2，0)的所有直线B通过点(2，0)的所有直线C通过点(2，0)且不垂直于x轴的所有直线D通过点(2，0)且除去x轴的所有直线解析：选C易验证直线通过点(2，0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴3已知直线的倾斜角为60，在y轴上的截距为2，则此直线的方程为()Ayx2 Byx2Cyx2 Dyx2解析：选D60，ktan 60，直线l的方程为yx2.4已知直线yax2和y(a2)x1互相垂直，则a_解析：由题意可知a(a2)1，解得a1.答案：1
