1、眉山市高中2013届第一次诊断性考试数学试题卷 (理科) 2013.01.15注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时,必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。3.答非选择题时,必须使用0.5毫米的黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。4所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。5. 考试结束,将答题卡上交。参考公式：如果事件A、B互斥,那么如果事件A、B相互独立,那么如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)=Cpk(1p)
2、nk.一选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个备选项中只有一项是符合题目要求的1.若集合M=y|y=2x,xR,集合S=x|y=(x1), 则下列各式中正确的是A.MS=M B.MS=S C.M=S D.MS= 2.设i是虚数单位,则复数(1i)等于A0 B2 C4i D4i3.下列四种说法中,错误的个数是集合A=0,1的子集有3个；开始输入pn=1n0时,0恒成立(为函数g(x)的导函数);对任意的xR都有g(x)=g(x).又函数f(x)满足：对任意的xR都有f(+x)=f(x)成立,当x,时,f(x)=x33x.若关于x的不等式gf(x)g(a2a+2)对x2,
3、2恒成立,则a的取值范围是A. aR B.0a1 C. a+ D. a0或a1二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡相应位置上.11已知平面向量=(3,1),=(x,3),/,则x等于 9 ;俯视图正视图侧视图2x1112设x,y满足约束条件,若目标函数z=+的最大值为 3 ; 13. 已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b1,且a(0,3),则对于任意的bR,函数F(x)=f(x)x总有两个不同的零点的概率是 ;14. 某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是,则正视图中x的值是 ;15. 若对于定义在R上的函数,其图象是连续不断的,且存在常数l (lR)
4、使得f(x+l)+lf(x)=0对任意实数x都成立,则称f(x) 是一个“l伴随函数”. 有下列关于“l伴随函数”的结论： f(x)=0是常数函数中唯一个“l伴随函数”； f(x) = x不是“l伴随函数”； f(x)=x2是一个“l伴随函数”； “伴随函数”至少有一个零点. 其中不正确的序号是_.(填上所有不正确的结论序号)三、解答题: 本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16(本小题12分)在锐角DABC中,三个内角A,B,C所对的边依次为a,b,c,设=(A),1),=(2(+1),1),a=2,且=.(1)若b=2,求DABC的面积；(2)求b+c的最大值.
5、解:=2(A)(+A)1=2(A)(A)1=(2A)1=2A1=,2A=, 3分0A,02A,2A=,A= 4分设ABC的外接圆半径为R,由a=2RA得2=2R,R=2由b=2RB得B=,又ba,B=, 5分C=(A+B)=AB+AB=+=, 6分DABC的面积为S=abC=22=3+.7分(2)解法1：由a2=b2+c22bcA,得b2+c2bc=12, 9分(b+c)2=3bc+123()2+12, 11分(b+c)248,即b+c4,(当且仅当b=c时取等号)从而b+c的最大值为4. 12分解法2：由正弦定理得:=4,又B+C=A=, (8分)b+c=4(B+C)=4B+(B)=6B+2
6、B=4(B+),10分当B+=,即B=时,b+c取得最大值4. 12分17(本小题12分)我校开设甲、乙、丙三门选修课,学生是否选修哪门课互不影响,已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08,选修甲和乙而不选修丙的概率为0.12,至少选修一门的概率为0.88,用表示该学生选修课程门数和没选修门数的乘积.(1)记“=0”为事件A,求事件A的概率；(2)求的分布列与数学期望.解：(1) 设该生选修甲,乙,丙课程的概率依次为P1,P2,P3,则由题意知,解得, 4分由题意可设可能取的值为0,2,=0的意义为选三门或一门都不选。因此P(=0)=0.40.60.5+(10.4)(10.6)(10.5
7、)=0.24即为所求. 6分(2) =2的意义为选一门或选两门.由事件的互斥性和独立性可知P(=2)=0.40.40.5+0.60.60.5+0.60.40.5+ 0.40.60.5+0.40.40.5+0.60.60.5=0.76. 9分结合()()可知随机变量的分布列为02P0.240.7611分由此可得,所求数学期望为：E=00.24+20.76=1.52. 12分18(本小题12分)三棱锥PABC中,PA平面ABC,ABBC,(1)证明:平面PAB平面PBC；(2)若PA=,PC与侧面APB所成角的余弦值为,PB与底面ABC成60角,求二面角BPCA的大小.(1)证明：PA面ABC,P
8、ABC,ABBC,且PAAB=A,BC面PAB而BC面PBC中,面PAB面PBC. 5分 解:(2)过A作则EFA为BPCA的二面角的平面角 8分由PA=,在RtDPBC中,COB=.RtDPAB中,PBA=60.AB=,PB=2,PC=3AE=同理：AF= 10分EFA=, 11分EFA=60. 12分另解：向量法：由题可知：AB=,BC=1,建立如图所示的空间直角坐标系(7分)B(0,0,0),C(1,0,0),A(0,0),P(0,),假设平面BPC的法向量为=(x1,y1,z1),取z1=可得平面BPC的法向量为=(0,3,)(9分)同理PCA的法向量为=(2,0)(11分)=,所求的
9、角为60 12分19(本小题12分)已知函数f(x)=.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a0,x1+x20,x2+x30,x3+x10,|xi|(i=1,2,3).求证:f(x1)+f(x2)+f(x3)2.解：整理得：f(x)=ax+(1)当a0时, f(x)的减区间为(,0)和(0,+);当a0时, f(x)的减区间为(,0)和(0,),增区间为(,)和(,+)5分(2)由条件知：x1,x2,x3中至多一个负数。 6分()若x1,x2,x3都为正数,由(1)可知|xi|时,f(|xi|)f()=2 (i=1,2,3) f(x1)+f(x2)+f(x3)62 9分()若x1,x2,x3中
10、有一负数,不妨设x30且|x3|,x2x3 f(x2)f(x3)=f(x3)(f(x)为奇函数)f(x2)+f(x3)0 f(x1)+f(x2)+f(x3)f(x1)f()=2 11分综上,f(x1)+f(x2)+f(x3)2. 12分20 (本小题13分)已知函数f(x)=xkx+1.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)0恒成立,试确定实数k的取值范围;(3)证明:1).解:(1)=k(x0). 1分当k0时,0,f(x)的增区间为(0,+); 2分 当k0时,由k0得00时, f(x)的增区间为(0,递减区间为,+).4分(2)由(1)可知:当k0时,f(x)无最大值,不合题意
11、, 5分k0,由(1)的知f(x)在x=取得最大值.f(x)0恒成立的条件是f()=0, 7分解得k1.从而,所求k的取值范围是1,+). 8分(3)由(2)可得,当k=1时,f(x)=xx+10在(1,+)上恒成立,令x=n2,得n21), 10分即. 11分+1+2+(n1)=,从而原不等式得证. 13分21(本小题14分)已知数列an中,a1=6,an+1=an+1,数列bn,点(n,bn)在过点A(0,1)的直线l上,若l上有两点B、C,向量=(1,2).(1)求数列an,bn的通项公式； (2)设cn=2,在ak与ak+1之间插入k个ck,依次构成新数列,试求该数列的前2013项之和
12、;(3)对任意正整数n,不等式(1+)(1+)(1+)a00恒成立,求正数a的范围.解:(1)an+1an=1且a1=6,an=n+5 1分设l上任意一点P(x,y),则=(x,y1),由已知可得/.y=2x+1,又过点(n,bn) bn=2n+1 4分(2)新数列：a1,c1,a2,c2,c2,a3,c3,c3,c3, a4,ak,ck,ak+1,共计项数：k+1+k经估算k=62, k+1+k=2016,项数接近2013, 5分S2013=(a1+a2+a62)+(1c1+2c2+62c62)2c62 6分令T=1c1+2c2+62c62,T=123+225+327+6221254T= 125+227+ +612125+622127两式相减得：T= 8分 S2013=+22125=2263+ 9分(3)变量分离得：a恒成立. 10分令g(n)= 11分=1 13分 g(n)递增数列。a(0,g(1)=(0, 14分
