1、微专题63 立体几何解答题的建系设点问题 在如今的立体几何解答题中,有些题目可以使用空间向量解决问题,与其说是向量运算,不如说是点的坐标运算,所以第一个阶段:建系设点就显得更为重要,建立合适的直角坐标系的原则有哪些?如何正确快速写出点的坐标?这是本文要介绍的内容。一、基础知识:(一)建立直角坐标系的原则:如何选取坐标轴1、轴的选取往往是比较容易的,依据的是线面垂直,即轴要与坐标平面垂直,在几何体中也是很直观的,垂直底面高高向上的即是,而坐标原点即为轴与底面的交点2、轴的选取:此为坐标是否易于写出的关键,有这么几个原则值得参考:(1)尽可能的让底面上更多的点位于轴上(2)找角:轴要相互垂直,所以
2、要利用好底面中的垂直条件(3)找对称关系:寻找底面上的点能否存在轴对称特点3、常用的空间直角坐标系满足轴成右手系,所以在标轴时要注意。4、同一个几何体可以有不同的建系方法,其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论(位置关系,角)是一致的。5、解答题中,在建立空间直角坐标系之前,要先证明所用坐标轴为两两垂直(即一个线面垂直底面两条线垂直),这个过程不能省略。6、与垂直相关的定理与结论:(1)线面垂直: 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直,则这条直线与该平面垂直 两条平行线,如果其中一条与平面垂直,那么另外一条也与这个平面垂直 两个平面垂直,则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂
3、直 直棱柱:侧棱与底面垂直(2)线线垂直(相交垂直): 正方形,矩形,直角梯形 等腰三角形底边上的中线与底边垂直(三线合一) 菱形的对角线相互垂直 勾股定理逆定理:若,则 (二)坐标的书写:建系之后要能够快速准确的写出点的坐标,按照特点可以分为3类1、能够直接写出坐标的点(1) 坐标轴上的点,例如在正方体(长度为1)中的点,坐标特点如下:轴: 轴: 轴: 规律:在哪个轴上,那个位置就有坐标,其余均为0(2)底面上的点:坐标均为,即竖坐标,由于底面在作立体图时往往失真,所以要快速正确写出坐标,强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考:以上图为例:则可快速写出点的坐标,位置关系清晰明了 2、空间中在
4、底面投影为特殊位置的点: 如果在底面的投影为,那么(即点与投影点的横纵坐标相同) 由这条规律出发,在写空间中的点时,可看下在底面的投影点,坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标,而竖坐标为该点到底面的距离。例如:正方体中的点,其投影为,而所以,而其到底面的距离为,故坐标为以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点,但总还有一些特殊点,那么就要用到第三个方法:3、需要计算的点 中点坐标公式:,则中点,图中的等中点坐标均可计算 利用向量关系进行计算(先设再求):向量坐标化后,向量的关系也可转化为坐标的关系,进而可以求出一些位置不好的点的坐标,方法通常是先设出所求点的坐标,再选取向量,利用向量关
5、系解出变量的值,例如:求点的坐标,如果使用向量计算,则设,可直接写出,观察向量,而 , 二、典型例题:例1:在三棱锥中,平面,分别是棱的中点,试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标解:平面 两两垂直以为轴建立直角坐标系坐标轴上的点: 中点:中点 中点 中点综上所述:小炼有话说:本讲中为了体现某些点坐标的来历,在例题的过程中进行详细书写。这些过程在解答题中可以省略。例2:在长方体中,分别是棱上的点,建立适当的直角坐标系并写出点的坐标思路:建系方式显而易见,长方体两两垂直,本题所给的是线段的比例,如果设等,则点的坐标都含有,不便于计算。对待此类问题可以通过设单位长度,从而使得坐标都为具体的数。解
6、:因为长方体两两垂直以为轴如图建系,设为单位长度 例3:如图,在等腰梯形中, 平面,且,建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。思路:本题直接有一个线面垂直,所以只需在平面找过的相互垂直的直线即可。由题意,不是直角。所以可以以其中一条边为轴,在底面上作垂线即可构造出两两垂直的条件,进而可以建立坐标系方案一:(选择为轴),连结可知 在中 由可解得 平面 以为坐标轴如图建系: 方案二(以 为轴)过作的垂线 平面 以为坐标轴如图建系:(同方案一)计算可得: 小炼有话说:建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直(即轴),对于轴的选取,如果没有已知线段,可以以垂足所在的某一条直线为坐标轴,然后作这条轴的垂线来确
7、定另一条轴,本题中的两个方案就是选过垂足的直线为轴建立的坐标系。例4:已知四边形满足,是中点,将翻折成,使得平面平面,为中点思路:在处理翻折问题时,首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变,这些都是作为已知条件使用的。本题在翻折时,是等边三角形,四边形为的菱形是不变的,寻找线面垂直时,根据平面平面,结合是等边三角形,可取中点,则可证平面,再在四边形找一组过的垂线即可建系解:取中点,连结 是等边三角形 平面平面平面,连结 四边形为的菱形 为等边三角形 两两垂直如图建系,设为单位长度 为中点 例5:如图,已知四棱锥的底面是菱形,对角线交于点,且平面,点为的三等分点(靠近),建立适当的直角坐标系
8、并求各点坐标思路:由平面,可得作为轴,在底面上可利用菱形对角线相互垂直的性质,选取作为轴。在所有点中只有的坐标相对麻烦,对于三等分点可得,从而转化为向量关系即可求出坐标解:平面 菱形 两两垂直以为坐标轴如图建系可得: 设 由可得: 小炼有话说:(1)底面是菱形时要注意对角线相互垂直的性质(2)对于一条线段上的某点分线段成比例,可以利用向量关系将该点坐标计算出来例6:如图所示的多面体中,已知正方形与直角梯形所在的平面互相垂直,试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标思路:题目已知面面垂直,从而可以找到与底面垂直,再由底面是正方形,可选为轴,图中点坐标相对麻烦,可以用投影法和向量法计算得到解:平面
9、平面又因为直角梯形 平面 正方形 两两垂直以为轴建立直角坐标系坐标轴上的点: 底面上的点: 点两种确定方式: 可看其投影,落在中点处,且高度为1,所以 设 综上所述:例7:如图,在三棱柱中,是正方形的中心,平面,建立适当的坐标系并确定各点坐标思路:平面,从而可作轴,只需在平面找到过的两条垂线即可建系(两种方案),对于坐标只有坐标相对麻烦,但由可以利用向量进行计算。解:方案一:(利用正方形相邻边垂直关系建系)如图建系:则 设,则 由可得: 综上所述:方案二:(利用正方形对角线相互垂直建系)如图建系:由计算可得 设,则 由可得: 综上所述:小炼有话说:本题虽然两种建系方法均可以,但从坐标上可以发现
10、,用方案二写出的坐标相对简单,尤其是底面上的坐标不仅在轴上,而且数比较整齐。(相信所给的目的也倾向使用方案二建系)因为在解决立体几何解答题时,建系写坐标是基础,坐标是否整齐会决定计算过程是否更为简便。所以若题目中建系有多种选择时,不妨观察所给线段长度的特点,选择合适的方法建系,为后面的计算打好基础例8:如图,在四棱柱中,侧棱,且点和分别为的中点。建立合适的空间直角坐标系并写出各点坐标思路:由,可得两两垂直,进而以它们为轴建立坐标系,本题中均可通过投影到底面得到横纵坐标,图中点坐标相对麻烦,可作出底面的平面图再根据平面几何知识进行计算。解: 侧棱 两两垂直以为轴建立直角坐标系底面上的点: 由可得
11、为等腰三角形,若为中点,则 可投影到底面上的点:因为和分别为的中点 综上所述: 例9:如图:已知平面,点在上,且,四边形为直角梯形,建立适当的坐标系并求出各点坐标思路:由条件可得,而平面,可得到平面,从而以为轴建系。难点在于求底面梯形中的长度。可作出平面图利用平面几何知识处理。解:平面, 平面 两两垂直,如图建系: 中: 为等边三角形 为等边三角形 在底面投影为且 综上所述:例10:已知斜三棱柱在底面上的射影恰为的中点,又知,建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标思路:本题建系方案比较简单,平面,进而作轴,再过引垂线即可。难点有二:一是三棱柱的高未知,进而无法写出上底面点的竖坐标;二是的投影不易在图中作出(需要扩展平面),第一个问题可先将高设为,再利用条件求解;第二个问题可以考虑利用向量计算得到。解:过作的垂线 ,平面 ,而以为轴建立直角坐标系,设高为 则,设 则 由可得: ,解得 设 而且 综上所述: