1、学案8对数与对数函数导学目标： 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0，a1)，体会对数函数是一类重要的函数模型自主梳理1对数的定义如果_，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_，其中_叫做对数的底数，_叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的性质(a0且a1)_；_；_；_.(2)对数的重要公式换底公式：logbN_(a，b均大于零且不等于1)；，推广_.(3)对数的运算法则如果a0且a1，M0，
2、N0，那么loga(MN)_；loga_；logaMn_(nR)；logaM.3对数函数的图象与性质a10a1时，_当0x1时，_当0x1时，_(6)是(0，)上的_函数(7)是(0，)上的_函数4.反函数指数函数yax与对数函数_互为反函数，它们的图象关于直线_对称自我检测1(2010四川)2log510log50.25的值为()A0B1C2D42(2010辽宁)设2a5bm，且2，则m的值为()A.B10C20D1003(2009辽宁)已知函数f(x)满足：当x4时，f(x)x；当x0的x的取值范围是()A(0，)B(0，)(2，)C(0，)(，2)D(0，)5(2011台州期末)已知0a
3、b1c，mlogac，nlogbc，则m与n的大小关系是_.探究点一对数式的化简与求值例1计算：(1)；(2)lglglg；(3)已知2lglg xlg y，求.变式迁移1计算：(1)log2log212log2421；(2)(lg 2)2lg 2lg 50lg 25.探究点二含对数式的大小比较例2(1)比较下列各组数的大小log3与log5；log1.10.7与log1.20.7.(2)已知logblogabcBacbCbacDbca(2)设a，b，c均为正数，且2a，()b，()clog2c，则()AabcBcba0CcabDba0且a1)，如果对于任意的x，2都有|f(x)|1成立，试求
4、a的取值范围变式迁移3(2010全国)已知函数f(x)|lg x|，若0a0，a1)(1)解关于x的不等式：loga(1ax)f(1)；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)是f(x)图象上的两点，求证：直线AB的斜率小于0.【答题模板】(1)解f(x)loga(1ax)，f(1)loga(1a)1a0.0aloga(1a)，即0x1.不等式的解集为(0,1)4分(2)证明设x10，ax1时，f(x)的定义域为(，0)；6分0a1时，f(x)的定义域为(0，)当0ax10，1.0.f(x2)f(x1)，即y21时，也有y2y1.10分综上：y2y1，即y2y10.kAB1或0a
5、0且a1.若a1，则logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0.若0alogag(x)0f(x)g(x)(2)同真数的对数值大小关系如图：图象在x轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0cd1a0且a1)等价于f(x)g(x)，但要注意验根对于logaf(x)logag(x)等价于0a1时，(2)形如F(logax)0、F(logax)0或F(logax)0，一般采用换元法求解 (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2010北京市丰台区高三一调)设My|y()x，x0，)，Ny|ylog2x，x(0,1，则集合MN等于 ()A(，0)1，)B0，)C(，1D(，0)(0,1
6、)2(2010全国)设alog32，bln 2，c5，则()AabcBbcaCcabDcbf(a)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)4(2011济南模拟)设函数f(x)定义在实数集上，f(2x)f(x)，且当x1时，f(x)ln x，则有 ()Af()f(2)f()Bf()f(2)f()Cf()f()f(2)Df(2)f()0，a1)在1,2上的最大值与最小值之和为loga26，则a的值为()A.B.C2D4题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)62lg 5lg 8lg 5lg 20lg22_.7(2011湖
7、南师大附中检测)已知函数f(x)lg在区间1,2上是增函数，则实数a的取值范围是_8已知f(3x)4xlog23233，则f(2)f(4)f(8)f(28)_.三、解答题(共38分)9(12分)已知f(x)2log3x，x1,9，求yf(x)2f(x2)的最大值及y取最大值时x的值10(12分)(2011北京东城1月检测)已知函数f(x)loga(x1)loga(1x)，a0且a1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)若a1时，求使f(x)0的x的解集11(14分)(2011郑州模拟)已知函数f(x)lg(axbx)(a1b0)(1)求yf(x)的定义域；(2
8、)在函数yf(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，)上恒取正值答案 自主梳理1axN(a0，且a1)xlogaNaN2.(1)N0N1(2)logad(3)logaMlogaNlogaMlogaNnlogaM3.(1)(0，)(2)R(3)(1,0)10(4)y0y0(5)y0(6)增(7)减4.ylogaxyx自我检测1C2.A3A因为32log234，故f(3log23)3log233.4B由题意可得：f(x)f(x)f(|x|)，f(|logx|)f()，f(x)在0，)上递增，于是|logx|，解得x的取值范围是(
9、0，)(2，)5mn解析m0，n0，logaclogcblogabn.课堂活动区例1解题导引在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化解(1)方法一利用对数定义求值：设x，则(2)x2(2)1，x1.方法二利用对数的运算性质求解：1.(2)原式(lg 32lg 49)lg 8lg 245(5lg 22lg 7)lg 2(2lg 7lg 5)lg 2lg 72lg 2lg 7lg 5lg 2lg 5lg (25)lg 10.(3)由已知得lg()2lg xy，()2xy，即x26xy
10、y20.()26()10.32.1，32，log(32)log(32)(32)log1.变式迁移1解(1)原式log2log212log2log22log2log2log22.(2)原式lg 2(lg 2lg 50)lg 2521g 2lg 25lg 1002.例2解题导引比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；若底数不同，真数相同，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得；若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较解(1)log3log510，log3log5.方法一00.71,1.1log0.
11、71.1log0.71.2.，由换底公式可得log1.10.7log1.20.7.方法二作出ylog1.1x与ylog1.2x的图象，如图所示，两图象与x0.7相交可知log1.10.7log1.20.7.(2)ylogx为减函数，且logblogaac.而y2x是增函数，2b2a2c.变式迁移2(1)Aalog31，blog23，则b1，clog32bc.(2)Aa，b，c均为正，loga2a1，logb()b(0,1)，log2c()c(0,1)0a，b1,1c2.故ab1时，得a1a，即a3；当0a1时，得a1a，得0a.综上所述，a的取值范围是(0，3，)变式迁移3C画出函数f(x)|
12、lg x|的图象如图所示0ab，f(a)f(b)，0a1，lg a0.由f(a)f(b)，lg alg b ，ab1.b，a2ba，又0a13，即a2b3.课后练习区1Cx0，y()x(0,1，M(0,1当01，log2e1，log23log2e.1，0ablog3，a.bln 2ln ，b.c5，ca0时，f(a)log2a，f(a)，f(a)f(a)，即log2alog2，a，解得a1.当af(a)，即log2(a)，a，解得1a0，由得1a1.4C由f(2x)f(x)知f(x)的图象关于直线x1对称，又当x1时，f(x)ln x，所以离对称轴x1距离大的x的函数值大，|21|1|1|，f
13、()f()0时，函数ax，logax的单调性相同，因此函数f(x)axlogax是(0，)上的单调函数，f(x)在1,2上的最大值与最小值之和为f(1)f(2)a2aloga2，由题意得a2aloga26loga2.即a2a60，解得a2或a3(舍去)637(1,2)解析因为f(x)lg在区间1,2上是增函数，所以g(x)a在区间1,2上是增函数，且g(1)0，于是a20，即1a2.82 008解析令3xt，f(t)4log2t233，f(2)f(4)f(8)f(28)4(128)82334361 8642 008.9解f(x)2log3x，yf(x)2f(x2)(2log3x)22log3x
14、2logx6log3x6(log3x3)23.(4分)函数f(x)的定义域为1,9，要使函数yf(x)2f(x2)有意义，必须1x3，0log3x1，(8分)6(log3x3)2313.当log3x1，即x3时，ymax13.当x3时，函数yf(x)2f(x2)取最大值13.(12分)10解(1)f(x)loga(x1)loga(1x)，则解得1x1.故所求函数f(x)的定义域为x|1x1(4分)(2)由(1)知f(x)的定义域为x|1x1时，f(x)在定义域x|1x01.解得0x0的x的解集是x|0x0，得()x1，且a1b0，得1，所以x0，即f(x)的定义域为(0，)(4分)(2)任取x1x20，a1b0，则0，所以0，即故f(x1)f(x2)所以f(x)在(0，)上为增函数(8分)假设函数yf(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使直线平行于x轴，则x1x2，y1y2，这与f(x)是增函数矛盾故函数yf(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴(10分)(3)因为f(x)是增函数，所以当x(1，)时，f(x)f(1)这样只需f(1)lg(ab)0，即当ab1时，f(x)在(1，)上恒取正值(14分)
