1、2017新课标名师导学新高考第一轮总复习同步测试卷文科数学(十七)(圆锥曲线的综合问题)时间：60 分钟 总分：100 分一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36分.每小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的.)1.已知点 A(2，3)在抛物线 C：y22px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为()A.43B.1 C.34D.12C【解析】点 A(2，3)在抛物线 C 的准线上，p22，p4.抛物线的方程为 y28x，则焦点 F 的坐标为(2，0).又 A(2，3)，根据斜率公式得 kAF032234.2.若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y
2、3x7 与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为 1，则这个椭圆的方程为()A.x212y2201 B.x24 y2121C.x212y28 1 D.x28 y2121D【解析】椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，所以椭圆的焦点在 y 轴上，且 a2b24，故能排除 A，B，C，故选 D.3.已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线均与圆 C：x2y26x50 相切，则该双曲线的离心率等于()A.3 55B.62C.32D.55A【解析】圆的圆心为(3，0)，半径为 2，且与双曲线的两条渐近线都相切，故渐近线的斜率 ktan23222 25ba，离心率 e1b2a21453 55.4
3、.椭圆 C：x24 y23 1 的左、右顶点分别为 A1，A2，点 P 在 C 上且直线 PA2 的斜率的取值范围是2，1，那么直线 PA1 斜率的取值范围是()A.12，34 B.38，34C.12，1D.34，1【解析】设 Px，y，直线 PA1，PA2 的斜率分别为 k1，k2，则 k1k2 yx2yx2 y2x24334x2x24 34，因为 k22，1，所以 k138，34，故选 B.B5.过椭圆x225y2161 的中心任作一直线交椭圆于P、Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则PQF 周长的最小值是()A.14 B.16 C.18 D.20C【解析】如下图设 F 为椭圆的左焦点，右焦
4、点为 F2，根据椭圆的对称性可知 FQPF2，OPOQ，所以PQF 的周长为|PF|FQ|PQ|PF|PF2|2|PO|2a2|PO|102|PO|，易知 2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q 为椭圆的上下顶点时，PQF 的周长取得最小值 102418，故选 C.6.若点 O 和点 F 分别为椭圆x24 y23 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则OP FP的最大值为()A.2 B.3 C.6 D.8C【解析】由题意，F(1，0)，设点 P(x0，y0)，则有x204 y203 1，解得 y2031x204，因为FP(x01，y0)，OP(x0，y0)，所以OP FPx0
5、(x01)y20 x0(x01)31x204 x204 x03，此二次函数的对称轴为 x02，因为2x02，所以当 x02 时，OP FP取得最大值224 236，选 C.二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24分，将各小题的结果填在题中横线上.)7.双曲线x22 y24 1 的顶点到其渐近线的距离为_.【解析】由双曲线x22 y24 1，得其顶点坐标(2，0)，(2，0)，渐近线方程 y 2x，点(2，0)到 y 2x 的距离为 d|0 2 2|1（2）22 33，顶点到其渐近线的距离为2 33.2 338.以 F1，F2 为焦点的椭圆x2a2y2b21(ab0)的上顶点为
6、P，当F1PF2120时，则此椭圆离心率 e 的大小为_.【解析】由对称性知，OPF260，ecasin 60 32.329.已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x0，抛物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是_.1【解析】如图，由抛物线定义知|PD|PF|1，则|PD|PQ|PQ|PF|1，故当 Q、P、F 三点共线时，|PQ|PF|最小，所以|PD|PQ|41306|324211.10.已知点 P 是椭圆x24 y23 1 上任一点，那点 P到直线 l：x2y120 的距离的最小值为.【解析】过椭圆上任意点作 l 的平行线 l，当 l与椭圆相切
7、时，则点 P 到直线 l：x2y120 的距离的最小值等于 l到 l 的距离.设 l的方程为 x2yc0，联立x24 y23 1x2yc0，将直线代入椭圆，得 4x22cxc2120，由0，得 c4；所以 l到 l 的距离 d12c1222 16 55或8 55.8 55三、解答题(本大题共 3 小题，共 40 分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.)11.(13 分)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左右焦点分别为 F1，F2，点 A2，2 在椭圆上，且 AF2 与 x 轴垂直.(1)求椭圆的方程；(2)过 A 作直线与椭圆交于另外一点 B，求AOB面积的最大值(O 为坐标原点).
8、【解析】(1)由已知：c2，b2a 2，a2 2，b24，故椭圆方程为x28 y24 1.(2)当 AB 斜率不存在时：SAOB122 222 2.当 AB 斜率存在时：设其方程为：y 2k(x2)k 22，由ykx（22k）x22y28，得2k21 x2422k kx222k 280，由 已 知：16 22k 2 k2 8 2k2122k 24 82k 2 20，即：k 22 时，AB 1k22 2 2k 22k21，O 到直线 AB 的距离：d22k1k2，SABC12AB d 2242k21，k 22，2k212，2k21 1，22，242k212，0 0，2，此时 SAOB(0，2 2
9、，综上所求：当 AB 斜率不存在或斜率为零时，AOB 面积取最大值为 2 2.12.(13 分)已知椭圆 C1 与双曲线 C2：2y22x21有公共焦点 F1，F2，M 为 C1，C2 的一个交点，F1MF2的周长为 22 2.(1)求椭圆 C1 的方程；(2)已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 C1 在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为 2的直线 l 与 C1交于 A，B 两点，若点 P 满足PAB 的重心为原点.判断点 P是否在椭圆 C1 上，并说明理由.【解析】(1)由题意，C2：2y22x21 的焦点坐标为(0，1)，c1，又F1MF2 的周长为 22 2，2a222 2，a 2，
10、b1，因此 C1：y22 x21.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l：y 2x1，y 2x1y22 x214x22 2x10，x1 2 64，x2 6 24，x1x2 22，x1x214.又 O 为PAB 的重心，OA OB OP 0，得 P(x1x2)，(y1y2)，P 22，1，222（1）221，所以点 P 在椭圆 C1 上.13.(14 分)设 M 为曲线 C 上任意一点，F(1，0)为定点，已知点 M 到直线 x4 的距离等于 2|MF|.(1)求曲线 C 的方程；(2)设直线 l 是圆 x2y22 的任意一条切线，且与曲线 C 相交于 A、B 两点，O 为坐标原
11、点.试推断是否存在直线 l，使OA OB 1？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由.【解析】(1)设点 M(x，y)，由已知，|x4|2（x1）2y2，则(x4)24(x1)2y2，即 3x24y212，所以曲线 C 的方程是x24 y23 1.(2)当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 ykxb.因为直线 l 与圆 x2y22 相切，则b1k2 2，即 b22(k21).将 ykxb 代入 3x24y212，得 3x24(kxb)212，即(4k23)x28kbx4b2120.设点 A(x1，x2)，B(x2，y2)，则 x1x2 8kb4k23，x1x24b2124k23.所以OA OB x1x2y1y2x1x2(kx1b)(kx2b)kb(x1 x2)(k2 1)x1x2 b2 8k2b24k23（k21）（4b212）4k23 b2 7b212（k21）4k232（k21）4k23.令2（k21）4k231，则 4k232k22，即 2k210，无解.当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x 2，代入x24 y23 1，解得 y 62.此时OA OB x1x2y1y226412.综上分析，不存在直线 l 满足条件.
