1、立体几何一、 单选题1在三棱锥中，平面平面，若，则三棱锥体积的最大值为ABCD解：如图，取中点，连结，平面平面，平面平面，平面，平面，设点到平面的距离为，为的中点，解得，设，则，关于求导，得，令，解得或（舍，由单调性得当时，故选：2正方体的棱长为2，分别为，的中点，则A直线与直线垂直B直线与平面不平行C平面截正方体所得的截面面积为D点与点到平面的距离相等解：在中，若，又因为且，所以平面，所以，所以，不成立，故错误；在中，如图所示，取的中点，连接，由条件可知：，且，所以平面平面，又因为平面，所以平面，故错误；在中，如图所示，连接，延长，交于点，因为，为、的中点，所以，所以，四点共面，所以截面即为
2、梯形，又因为，所以，所以，故正确；在中，记点与点到平面的距离分别为，因为，又因为，所以，故错误故选：3已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是AB，C，D解：如图，设的中心为，球的半径为，连接，则，在中，解得，在中，过点作圆的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为：，最小面积为当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为所得截面圆面积的取值范围是，故选：4如图1，已知正方体的棱长为2，为棱的中点，、分别是线段、上的点，三棱锥的俯视图如图2所示当三棱锥的体积最大时，异面直线与所成角的正切值为ABCD1解：由俯视图知，
3、为的中点，为的中点，为上任意一点，如下图所示：由中位线可知：，平面，平面，平面，平面，平面平面，由正方体中线面关系可知：平面，平面，当与重合，点到平面的距离最大，当与重合时，三棱锥的体积最大，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，当三棱锥的体积最大时，0，2，0，0，2，0，设异面直线与所成角为，则，异面直线与所成角的正切值为5已知二面角为，为垂足，为平面内两条互相垂直的直线，若与所成角为，则直线与所成角的余弦值为ABCD解：如图，平移直线，使得两直线经过，过作平面，垂足为，连接，则，过分别作，连接，则，设，则，在中，有，则，则，在中，由，得，直线与所成角的余弦值为故选：6如图，在中
4、，将绕边翻转至，使平面平面，是的中点，设是线段上的动点，则当与所成角取得最小值时，线段等于ABCD解：过点作平面，交延长线于点，连结，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，在中，将绕边翻转至，使平面平面，是的中点，设是线段上的动点，则，0，0，0，2，0，设，0，即，0，0，1，2，令，由，得，时，时，当时，取最大值，此时与所成角取得最小值，故选：7已知圆锥的底面圆心为，顶点为，侧面展开图对应扇形的圆心角为，是底面圆周上的两点，与平面所成角的正弦值为，则与所成角的余弦值为ABCD解：设，因为侧面展开图对应扇形的圆心角为，所以，于是，所以，所以，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则各点
5、坐标如下：，0，平面的法向量为，0，与平面所成角的正弦值为，所以与所成角的余弦值为故选：8正四面体的棱长为3，点是平面内一动点，设异面直线与所成的角为，则的最小值为ABCD解：如图，作平面于，是正四面体，是的中心，则，则，平面内，在以为圆心，为半径的圆上，运动时，是圆锥的母线，如图，把圆锥平移到四面体外部，不妨设，是圆锥底面圆的一条直径，母线与所成角的最小值是圆锥轴截面底角，即异面直线与所成的角的最小值为，故选：二、 多选题9如图，四棱锥中，平面底面，是等边三角形，底面是菱形，且，为棱的中点，为菱形的中心，下列结论正确的有A直线与平面平行B直线与直线垂直C线段与线段长度相等D与所成角的余弦值为
6、解：如图，连接，可知，由线面平行的判定定理得面，故正在菱形中，则为等边三角形设的中点为，连接，则，又，由线面垂直的判定定理得出平面，平面，故正确；平面平面，由面面垂直的性质可得为直角三角形，设，则，在中，可得故异面直线与所成角的余弦值为在中，则不是直角，则不是等腰三角形，即与长度不等，故错误，正确故选：10如图直角梯形中，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且，则A平面平面 BC二面角的大小为D与平面所成角的正切值为解：对于，直角梯形中，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，又，平面，平面，平面，平面，平面，平面平面，故正确；对于，平面，平面，四边形是正方形，平面，平面，故正确；对于
7、，平面，是二面角的平面角，二面角的大小为，故正确；对于，平面，是与平面所成角，与平面所成角的正切值为，故错误故选：11在长方体中，是平面内不同的两点，是平面内不同的两点，且，分别是线段，的中点则下列结论正确的是A若，则B若，重合，则C若与相交，且，则可以与相交D若与是异面直线，则不可能与平行解：若，则、四点共面，当时，平面、平面、平面两两相交有三条交线，分别为、，则三条交线交于一点，则与平面交于点，则与不平行，故错误；若、两点重合，则，、四点共面，平面、平面、平面两两相交有三条交线，分别为、，由，得，故正确；若与相交，确定平面，平面、平面、平面两两相交有三条交线，分别为、，则与不可能相交，故错
8、误；当与异面时，如图，连接，取中点，连接，则，平面，平面、则平面，假设，平面、平面，平面，又，平面平面，同理可得，平面平面，则平面平面，与平面平面矛盾，则假设错误，不可能与平行，故正确故选：12如图，在边长为4的正三角形中，分别为各边的中点，分别为，的中点，将沿，折成正四面体，则在此正四面体中，下列说法正确的是A与所成的角的正弦值为 B与成角C与所成的角为 D与所成角余弦值为解：对于，的边长为4，折成正四面体后，如图，分别为各边的中点，分别为，的中点，连结，取中点，则，异面直线与所成角为，连结，得，与所成的角的正弦值为：，故错误；对于，正四面体中，取中点，连结，则，平面，与成角，故正确；对于，
9、连结，则，异面直线与所成的角为，与所成的角为，故正确；对于，异面直线与所成角为，故正确故选：三、 填空题13如图，在直三棱柱中，点为棱上的点且平面，则1，已知，以为球心，以为半径的球面与侧面的交线长度为解：取的中点为，分别连结和，细查题意，只有当为的中点时才满足题意，原因如下；当为的中点时，所以平面，平面，又因为，所以平面平面，因为平面，所以平面，因为平面平面，又平面平面，平面平面，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，即为的中点，所以；球面与侧面的交线长，即截面圆的弦长，因为，即，易得，取的中点为，故可得，因为平面平面，平面，所以平面，圆心距，设交线的轨迹为，截面圆半径，又因为，所以为等边
10、三角形，所以弧故答案为：1；14已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，用与直线、都平行的平面截此四棱锥，截面与、分别交于、，则截面面积的最大值为解：设，连接，交，分别于，连接，平面，平面，平面，连接，四边形为矩形，当时，截面面积的最大值为，故答案为：15正方体的棱长为1，在正方体的表面上与点的距离是的点形成一条曲线，这条曲线的长度是（参考数据解：由题意知，此曲线实质是以点为球心，为半径的球在正方体表面的交线，正方体的各个面根据与球心的位置关系分成两类，一类是，为过球心的截面；截线为大圆弧，圆弧半径为；设各圆弧圆心角为，则，所以，此时三个面上的大圆弧长为；第二类是，为球心距离为1的截面，截线为小圆弧，圆弧半径为，圆心角为，此时这三个截线长度和为；所以这条曲线的总长为故答案为：16如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面，且，经过顶点作一个平面，使得平面，若平面，平面，则异面直线与所成的角的余弦值为解：设平面平面，平面，平面平面，且平面平面，平面平面，且平面平面，同理可证，异面直线与所成的角即，所成的，在四棱柱中，底面是正方形，平面，且，异面直线与所成的角的余弦值为：故答案为：
