1、86空间直线、平面的垂直86.1直线与直线垂直新课程标准解读核心素养1.借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线垂直的关系逻辑推理2.会求两异面直线所成的角直观想象如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,AB与B1C1异面,AB与B1D1也异面问题(1)直观上,你认为这两种异面有什么区别?(2)如果要利用角的大小来区分这两种异面,你认为应该怎样做?知识点异面直线所成的角1定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线aa,bb,把直线a与b所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)2空间两条直线所成角的取值范围:0903垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这
2、两条异面直线互相垂直,记作ab1两条直线垂直,一定相交吗?提示:不一定当两条异面直线所成的角为90时,两条异面直线垂直,不相交2两条不重合的直线所成的角是0时,这两直线的位置关系是什么?提示:平行1判断正误(正确的画“”,错误的画“”)(1)异面直线所成的角的大小与O点的位置有关,即O点位置不同时,这一角的大小也不同()(2)异面直线a与b所成角可以是0.()(3)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条直线也与这条直线垂直()答案:(1)(2)(3)2若AOB120,直线aOA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为_. 解析:因为aOA,根据等角定理,又因为异面直线所成
3、的角为锐角或直角,所以a与OB所成的角为60.答案:603已知正方体ABCDEFGH,则AH与FG所成的角是_解析:如图,连接BG,则BGAH,所以BGF为异面直线AH与FG所成的角. 因为四边形BCGF为正方形,所以BGF45.答案:45求异面直线所成的角例1在空间四边形ABCD中,ABCD,且AB与CD所成锐角为30,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成角的大小解如图所示,取AC的中点G,连接EG,FG,则EGAB且EGAB,GFCD且GFCD.由ABCD知EGFG,从而可知GEF为EF与AB所成的角,EGF或其补角为AB与CD所成的角AB与CD所成角为30,EGF30或150,
4、由EGFG知EFG为等腰三角形,当EGF30时,GEF75,当EGF150时,GEF15,故EF与AB所成角的大小为15或75.求两异面直线所成角的一般步骤(1)构造角:根据异面直线的定义,通过作平行线或平移平行线,作出异面直线夹角的相关角;(2)计算角:求角度,常利用三角形;(3)确定角:若求出的角是锐角或是直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角注意找异面直线所成的角,可以从如下“口诀”入手:中点、端点定顶点,平移常用中位线;平行四边形中见,指出成角很关键;求角构造三角形,锐角、钝角要明辨;平行直线若在外,补上原体在外边 跟踪训练在长方体AB
5、CDA1B1C1D1中,ABBC,AA1,则异面直线AC1与BB1所成的角为()A30B45C60 D90解析:选C如图,连接A1C1,因为BB1AA1,所以A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角或其补角因为tanA1AC1,所以A1AC160,故选C.证明直线与直线垂直问题例2在正方体AC1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求证:DB1EF.证明如图,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G.则OGB1D,EFA1C1.GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角GA1GC1,O为A1C1的中点,GOA1C1.异面直线DB1与EF所
6、成的角为90,即DB1EF.证明空间中两条直线垂直的方法(1)定义法:利用两条直线所成的角为90证明两直线垂直;(2)平面几何图形性质法:利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等 跟踪训练对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M,N,P,Q,判定四边形MNPQ的形状解:如图所示,点M,N,P,Q分别是四条边的中点,MNAC,且MNAC,PQAC,且PQAC,即MNPQ且MNPQ,四边形MNPQ是平行四边形又BDMQ,ACBD,MNMQ,平行四边形MNPQ是矩形1如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,D是AB的中点,则在所有的棱中与直线CD和A
7、A1都垂直的直线有_解析:由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB,A1B1.答案:AB,A1B12如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,异面直线A1B与AD1所成的角大小为_解析:连接BC1,A1C1(图略),BC1AD1,异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角(或其补角)在A1BC1中,A1BBC1A1C1,A1BC160,故异面直线A1B与AD1所成的角为60.答案:603如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O1为底面A1B1C1D1的中心求证AO1BD.证明:如图所示,连接B1D1,AD1,AB1,AO1,ABCDA1B1C1D1是正方体,BB1綉DD1.四边形BB1D1D是平行四边形,B1D1BD.直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角易证AB1AD1.又O1为底面A1B1C1D1的中心,O1为B1D1的中点,AO1B1D1,AO1BD.