1、86空间直线、平面的垂直86.1直线与直线垂直新课程标准解读核心素养1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系逻辑推理2.会求两异面直线所成的角直观想象如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB与B1C1异面，AB与B1D1也异面问题(1)直观上，你认为这两种异面有什么区别？(2)如果要利用角的大小来区分这两种异面，你认为应该怎样做？知识点异面直线所成的角1定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线aa，bb，把直线a与b所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)2空间两条直线所成角的取值范围：0903垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这
2、两条异面直线互相垂直，记作ab1两条直线垂直，一定相交吗？提示：不一定当两条异面直线所成的角为90时，两条异面直线垂直，不相交2两条不重合的直线所成的角是0时，这两直线的位置关系是什么？提示：平行1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)异面直线所成的角的大小与O点的位置有关，即O点位置不同时，这一角的大小也不同()(2)异面直线a与b所成角可以是0.()(3)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直()答案：(1)(2)(3)2若AOB120，直线aOA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为_. 解析：因为aOA，根据等角定理，又因为异面直线所成
3、的角为锐角或直角，所以a与OB所成的角为60.答案：603已知正方体ABCDEFGH，则AH与FG所成的角是_解析：如图，连接BG，则BGAH，所以BGF为异面直线AH与FG所成的角. 因为四边形BCGF为正方形，所以BGF45.答案：45求异面直线所成的角例1在空间四边形ABCD中，ABCD，且AB与CD所成锐角为30，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小解如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，则EGAB且EGAB，GFCD且GFCD.由ABCD知EGFG，从而可知GEF为EF与AB所成的角，EGF或其补角为AB与CD所成的角AB与CD所成角为30，EGF30或150，
4、由EGFG知EFG为等腰三角形，当EGF30时，GEF75，当EGF150时，GEF15，故EF与AB所成角的大小为15或75.求两异面直线所成角的一般步骤(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角；(2)计算角：求角度，常利用三角形；(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角注意找异面直线所成的角，可以从如下“口诀”入手：中点、端点定顶点，平移常用中位线；平行四边形中见，指出成角很关键；求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；平行直线若在外，补上原体在外边 跟踪训练在长方体AB
5、CDA1B1C1D1中，ABBC，AA1，则异面直线AC1与BB1所成的角为()A30B45C60 D90解析：选C如图，连接A1C1，因为BB1AA1，所以A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角或其补角因为tanA1AC1，所以A1AC160，故选C.证明直线与直线垂直问题例2在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1EF.证明如图，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.则OGB1D，EFA1C1.GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角GA1GC1，O为A1C1的中点，GOA1C1.异面直线DB1与EF所
6、成的角为90，即DB1EF.证明空间中两条直线垂直的方法(1)定义法：利用两条直线所成的角为90证明两直线垂直；(2)平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等 跟踪训练对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，判定四边形MNPQ的形状解：如图所示，点M，N，P，Q分别是四条边的中点，MNAC，且MNAC，PQAC，且PQAC，即MNPQ且MNPQ，四边形MNPQ是平行四边形又BDMQ，ACBD，MNMQ，平行四边形MNPQ是矩形1如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和A
7、A1都垂直的直线有_解析：由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1.答案：AB，A1B12如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角大小为_解析：连接BC1，A1C1(图略)，BC1AD1，异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角(或其补角)在A1BC1中，A1BBC1A1C1，A1BC160，故异面直线A1B与AD1所成的角为60.答案：603如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心求证AO1BD.证明：如图所示，连接B1D1，AD1，AB1，AO1，ABCDA1B1C1D1是正方体，BB1綉DD1.四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1BD.直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角易证AB1AD1.又O1为底面A1B1C1D1的中心，O1为B1D1的中点，AO1B1D1，AO1BD.