1、101.2事件的关系和运算新课程标准解读核心素养了解随机事件的并、交与互斥的含义，会进行简单的随机事件的运算数学抽象、数学建模在掷骰子试验中，定义如下事件：C1出现1点；C2出现2点；C3出现3点；C4出现4点；C5出现5点；C6出现6点；D1出现的点数不大于1；D2出现的点数不大于3；D3出现的点数不大于5；E出现的点数小于5；F出现的点数大于4；G出现的点数为偶数；H出现的点数为奇数问题(1)在上述事件中，事件C1与事件C2的并事件是什么？(2)事件D2与事件G及事件C2间有什么关系？(3)事件C1与事件C2间有什么关系？(4)事件E与事件F间有什么关系？知识点事件的关系和运算1包含关系定
2、义一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)含义A发生导致B发生符号表示BA(或AB)图形表示特殊情形如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即BA且AB，则称事件A与事件B相等，记作AB2.并事件(和事件)定义一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)含义A与B至少一个发生符号表示AB(或AB)图形表示3.交事件(积事件)定义一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B
3、的交事件(或积事件)含义A与B同时发生符号表示AB(或AB)图形表示4.互斥(互不相容)定义一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说AB是一个不可能事件，即AB，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)含义A与B不能同时发生符号表示AB图形表示5互为对立定义一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即AB，且AB，那么称事件A与事件B互为对立事件A的对立事件记为含义A与B有且仅有一个发生符号表示AB，AB图形表示互斥事件与对立事件的区别与联系(1)区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：若事件A发生，则事件B就不发生；若事件B发生，则事件A就不发生；事件A，B都
4、不发生而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则AB是必然事件，但若A与B是互斥事件，则AB不一定是必然事件，即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个；(2)联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立 对于三个事件A，B，C至少有一个发生如何用符号表示？同时发生如何表示？提示：至少有一个发生可表示为ABC(或ABC)；同时发生可表示为ABC(或ABC)1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)若A，B表示随机事件，则AB与AB也表示事件()(2)若两个事件是互斥事件，则这两个
5、事件是对立事件()(3)若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件()(4)若事件A和B是互斥事件，则AB是不可能事件()答案：(1)(2)(3)(4)2掷一枚质地均匀的骰子，设事件A出现的点数不大于3，B出现的点数为偶数，则事件A与事件B的关系是()AABBAB出现的点数为2C事件A与B互斥D事件A与B是对立事件解析：选B由题意事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点数是2或4或6.故AB出现的点数为23一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A至多有一次中靶B两次都中靶C只有一次中靶 D两次都不中靶解析：选D事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“
6、中靶两次”两种情况由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥4袋内红、白、黑球分别为3个、2个、1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是()A至少有一个白球；红、黑球各1个B至少有一个白球；至少有一个红球C恰有一个白球；一个白球一个黑球D至少有一个白球；都是白球解析：选A至少有一个白球与红、黑球各1个是互斥事件但不是对立事件事件的运算例1(链接教科书第232页例6)盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，事件C“3个球中至少有1个红球”，事件D“3个球中既有红球又有白球”问：(1)事件D与A，B是
7、什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？解(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故DAB.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个均为红球，故CAA.进行事件运算时应注意的问题(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析；(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理 跟踪训练从一批100件的产品中每次取出一个(取后不放回)，假设10
8、0件产品中有5件是次品，用事件Ak表示第k次取到次品(k1，2，3)，试用A1，A2，A3表示下列事件：(1)三次全取到次品；(2)只有第一次取到次品；(3)三次中恰有两次取到次品；(4)三次中至多有一次取到次品解：(1)A1A2A3(2)A1(3)A1A2A1A3A2A3(4)A1A3A2互斥事件与对立事件的判断例2某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C 为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”判断下列每组事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)A与C；(2)B与C；(3)B与D；(4)B
9、与E；(5)A与E.解(1) 由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件(2)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件(4)由于事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E
10、必有一个发生，故B与E是对立事件(5)事件A“只订甲报”与事件E“一种报纸也不订”不可能同时发生，故A与E是互斥事件但A与E不是必有一个发生，比如“只订乙报”，故A与E不是对立事件辨析互斥事件与对立事件的思路辨析互斥事件与对立事件，可以从以下几个方面入手：(1)从发生的角度看：在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生；两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立对立事件是互斥事件的一个特例(2)从事件个数的角度看：互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件 跟踪训练1一个人打靶时连续射击两次，事件
11、“至多有一次中靶”的互斥事件是()A两次都中靶B至少有一次中靶C两次都不中靶 D只有一次中靶解析：选A事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“两次都不中靶”，因此不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”2从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从110各10张)中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”解：(1)是互斥事件，不是对立事件理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互
12、斥事件同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件(2)既是互斥事件，又是对立事件理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件事件关系的判断与集合形式表示2019年4月23日，作为全国第三批启动高考综合改革试点的8个省市，河北、辽宁
13、、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆相继发布了本省市高考综合改革实施方案，明确从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施根据公布的实施方案，8个省市将采用“312”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科问题探究1小李从物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，若记事件A为“小李物理必选”；事件B为“小李生物必选”，用集合表示这两个事件，并判断事件A与事件B是不是互斥事件，是不是对立事件提示：A(物理，思想政治，地
14、理)，(物理，思想政治，化学)，(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，化学)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，B(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，(历史，思想政治，生物)，(历史，地理，生物)，(历史，化学，生物)则事件A，B中含有相同的样本点(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，所以事件A与事件B不是互斥事件，也不是对立事件2在第1题的条件下，用集合的形式表示事件AB和事件，并说明事件AB和事件的关系提示：由第1题可知，事件AB(物理，思想政治，地理)，(物理，思想政治，化学)，(物理，思想政治，生物)，(物理
15、，地理，化学)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，(历史，思想政治，生物)，(历史，地理，生物)，(历史，化学，生物)，事件(历史，思想政治，地理)，(历史，思想政治，化学)，(历史，地理，化学)，所以事件AB和事件既是互斥事件，也是对立事件 迁移应用某市为了了解市民对卫生管理的满意程度，通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共250人，结果如下表：学生在职人员退休人员满意75y78不满意5z12若y70，z2，基本事件用(y，z)表示，请写出该试验的样本空间，并指出样本点的个数解：学生人数为80，退休人员人数为90，在职人员人数为250809080，yz80.又y70，z2，样本空
16、间(70，10)，(71，9)，(72，8)，(73，7)，(74，6)，(75，5)，(76，4)，(77，3)，(78，2)，样本点的个数为9.1若干人站成一排，其中为互斥事件的是()A“甲站排头”与“乙站排头”B“甲站排头”与“乙站排尾”C“甲站排头”与“乙不站排头”D“甲不站排头”与“乙不站排头”解析：选A根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B、C、D中两事件能同时发生，故不是互斥事件2抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件E向上的点数为偶数，F向上的点数为质数，则EF_解析：E向上的点数为偶数2，4，6，F向上的点数为质数2，3，5，EF向上的点数为2答案：向上的点数为23从某大学数学系图书室中任选一本书设A数学书；B中文版的书；C2020年后出版的书问：(1)AB表示什么事件？(2)在什么条件下有ABCA?(3)B表示什么意思？(4)如果B，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？解：(1)AB2020年或2020年前出版的中文版的数学书(2)在“图书室中所有数学书都是2020年后出版的且为中文版”的条件下才有ABCA.(3)B表示2020年或2020年前出版的书全是中文版的(4)是.B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书同时B又可等价成A，因而也可解释为：图书室中所有数学书都不是中文版的，而且所有外文版的书都是数学书
