1、考点一 利用导数研究生活中的优化问题 重点保分型考点师生共研 第三课时 导数与函数的综合问题(2015江苏高考)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路记两条相互垂直的公路为 l1，l2，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N 为 C的两个端点，测得点 M 到 l1，l2的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 l1，l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米以 l2，l1 所在的直线分别为 x，y 轴，建立平面直角坐标系 xOy.假设曲线 C 符合函数 yax2b(其中 a，b 为常数)模型
2、(1)求 a，b 的值(2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点，P 的横坐标为 t.请写出公路 l 长度的函数解析式 f(x)，并写出其定义域当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度解：(1)由题意知，点 M，N 的坐标分别为(5,40)，(20，2.5)将其分别代入 yax2b，得a25b40，a400b2.5，解得a1 000，b0.(2)由(1)知，y1 000 x2(5x20)，则点 P 的坐标为t，1 000t2.设在点 P 处的切线 l 交 x，y 轴分别于 A，B 两点，y2 000 x3，则 l 的方程为 y1 000t22 000t3(xt)，由此得 A3t2
3、，0，B0，3 000t2.故 f(t)3t223 000t2232t24106t4，t5,20设 g(t)t24106t4，则 g(t)2t16106t5.令 g(t)0，解得 t10 2.当 t(5,10 2)时，g(t)0，g(t)是减函数；当 t(10 2，20)时，g(t)0，g(t)是增函数从而，当 t10 2时，函数 g(t)有极小值，也是最小值，所以 g(t)min300，此时 f(t)min15 3.故当 t10 2时，公路 l 的长度最短，最短长度为 15 3千米某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米假
4、设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000 元(为圆周率)(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为 1002rh200rh 元，底面的总成本为 160r2 元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意 200rh160r212 000，所以 h 15r(3004r2)，从而 V(r)r2h5(300r4r3)因为 r0，又由 h0 可得 r5 3，故
5、函数 V(r)的定义域为(0,5 3)(2)因为 V(r)5(300r4r3)，所以 V(r)5(30012r2)令 V(r)0，解得 r15，r25(舍去)当 r(0,5)时，V(r)0，故 V(r)在(0,5)上为增函数；当 r(5,5 3)时，V(r)0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数由此可知，V(r)在 r5 处取得最大值，此时 h8.即当 r5，h8 时，该蓄水池的体积最大考点二 利用导数研究函数的零点或方程的根 重点保分型考点师生共研(2015广东高考节选)设 a1，函数 f(x)(1x2)exa.(1)求 f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(，)上仅有一个零点解：
6、(1)f(x)的定义域为 R，由导数公式知 f(x)2xex(1x2)ex(x1)2ex，xR.对任意 xR，都有 f(x)0，f(x)的单调递增区间为(，)，无单调递减区间(2)证明：由(1)知 f(x)在(，)上单调递增，且 f(0)1a1，a10，a10，ea11，ea110，故 f(a1)0，x0(0，a1)使得 f(x0)0.又f(x)在(，)上是单调函数，f(x)在(，)上仅有一个零点(2016贵州七校联考)函数 f(x)(ax2x)ex，其中 e 是自然对数的底数，aR.(1)当 a0 时，解不等式 f(x)0；(2)当 a0 时，求整数 t 的所有值，使方程 f(x)x2 在t
7、，t1上有解解：(1)因为 ex0，所以不等式 f(x)0 即为 ax2x0，又因为 a0，所以不等式可化为 xx1a 0，所以不等式 f(x)0 的解集为1a，0.(2)当 a0 时，方程即为 xexx2，由于 ex0，所以 x0 不是方程的解，所以原方程等价于 ex2x10.令 h(x)ex2x1，因为 h(x)ex 2x20 对于 x(，0)(0，)恒成立，所以 h(x)在(，0)和(0，)内是单调递增函数，又 h(1)e30，h(2)e220，h(3)e3130，h(2)e20，所以方程 f(x)x2 有且只有两个实数根，且分别在区间1,2和3，2上，所以整数 t 的所有值为3,1考点
8、三 利用导数研究与不等式有关的问题 常考常新型考点多角探明 导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题解：(1)因为 f(x)ln(1x)ln(1x)，所以 f(x)11x 11x，f(0)2.又因为 f(0)0，所以曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y2x.(2)证明：令 g(x)f(x)2xx33，则 g(x)f(x)2(1x2)2x41x2.因为 g(x)0(0 xg(0)0，x(0,1)，即当 x(0,1)时，f(x)2xx33.解：(1)
9、当 m1 时，f(x)(1x)exx2，则 f(x)x(2ex)，由 f(x)0 得，0 xln 2，由 f(x)0 得 x0 或 xln 2，故函数 f(x)的单调递增区间为(0，ln 2)，单调递减区间为(，0)，(ln 2，)(2)依题意，f(x)mxex2m x2(m2)x，x0，因为 x0，所以 mexxm0，令 h(x)mexxm，则 h(x)mex1，当 m1 时，h(x)ex10，则 h(x)在(，0)上单调递减，所以 h(x)h(0)0，符合题意；当 m1 时，h(x)在(，ln m)上单调递减，在(ln m,0)上单调递增，所以 h(x)minh(ln m)h(0)0，不合
10、题意综上所述，m 的取值范围为(，1解：(1)函数 f(x)定义域为(0，)，f(x)ax2x42x24xax.假设存在实数 a，使 f(x)在 x1 处取极值，则 f(1)0，a2，此时，f(x)2x12x，当 x0 时，f(x)0 恒成立，f(x)在(0，)上单调递增，x1 不是 f(x)的极值点故不存在实数 a，使得 f(x)在 x1 处取得极值(2)由 f(x0)g(x0)，得(x0ln x0)ax202x0，记 F(x)xln x(x0)，F(x)x1x(x0)，当 0 x1 时，F(x)1 时，F(x)0，F(x)单调递增F(x)F(1)10，a x202x0 x0ln x0，记 G(x)x22xxln x，x1e，e，G(x)2x2xln xx2x1xln x2x1x2ln x2xln x2.x1e，e，22ln x2(1ln x)0，x2ln x20，x1e，1 时，G(x)0，G(x)单调递增，G(x)minG(1)1，aG(x)min1.故实数 a 的取值范围为1，)结 束 “课后三维演练”见“课时跟踪检测(十六)”(单击进入电子文档)结 束 “板块命题点专练(四)”(单击进入电子文档)
