1、33抛物线33.1抛物线及其标准方程新课程标准解读核心素养1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用数学抽象2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程直观想象把一根直尺固定在图板上直线l的位置，把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长(即点A到直线l的距离)，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F.用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线问题你能画出该曲线并说明该曲线具有哪些性质吗？知识点一抛物线的定义平面内与
2、一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线1抛物线的定义实质可以归结为“一动二定一相等”：“一动”即一个动点，设为M；“二定”包括一个定点F，即抛物线的焦点，和一条定直线l，即抛物线的准线；一相等，即|MF|d(d为M到准线l的距离)2定义中要注意强调定点F不在定直线l上当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线 1若动点P到点(3，0)的距离和它到直线x3的距离相等，则动点P的轨迹是()A椭圆B抛物线C直线D双曲线答案：B2平面内到点A(2，3)和直线l：x2y80距离相等的点的轨迹是()A直线 B
3、抛物线 C椭圆 D圆解析：选AAl，轨迹为过A且与l垂直的一条直线知识点二抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y四个标准方程的区分焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向 1对抛物线y4x2，下列描述正确的是()A开口向上，焦点为(0，1)B开口向上，焦点为C开口向右，焦点为(1，0)D开口向右，焦点为答案：B2若抛物线y28x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为()A(8，8)B(8，8)C(8，8)
4、 D(8，8)答案：C3已知动点P到定点(0，2)的距离和它到直线l：y2的距离相等，则点P的轨迹方程为_答案：x28y抛物线的标准方程例1(链接教科书第132页例1)求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点M(6，6)；(2)焦点F在直线l：3x2y60上解(1)由于点M(6，6)在第二象限，过M的抛物线开口向左或开口向上若抛物线开口向左，焦点在x轴上，设其方程为y22px(p0)，将点M(6，6)代入，可得362p(6)，p3.抛物线的方程为y26x.若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x22py(p0)，将点M(6，6)代入可得，362p6，p3，抛物线的方程为x26y.综上所
5、述，抛物线的标准方程为y26x或x26y.(2)直线l与x轴的交点为(2，0)，抛物线的焦点是F(2，0)，2，p4，抛物线的标准方程是y28x.直线l与y轴的交点为(0，3)，即抛物线的焦点是F(0，3)，3，p6，抛物线的标准方程是x212y.综上所述，所求抛物线的标准方程是y28x或x212y.求抛物线的标准方程的方法定义法根据定义求p，最后写标准方程待定系数法设标准方程，列有关的方程组求系数直接法建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程注意当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2ax或x2ay(a0)的形式，以简化讨论过程 跟踪训练1抛物
6、线2y25x0的焦点坐标为_，准线方程为_解析：将2y25x0变形为y2x，2p，p，焦点坐标为，准线方程为x.答案： x2抛物线的焦点F在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，|AF|5，求抛物线的标准方程解：设所求焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y22ax(a0)，点A(m，3)由抛物线的定义得|AF|5，又(3)22am，a1或a9.所求抛物线的标准方程为y22x或y218x.抛物线定义的应用例2(1)(2020全国卷)已知A为抛物线C：y22px(p0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p()A2B3C6 D9(2)若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.
7、求点M的轨迹方程(1)解析法一：因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以y18p.又点A到焦点的距离为12，所以 12，所以18p122，即p236p2520，解得p42(舍去)或p6.故选C.法二：根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以129，解得p6.故选C.答案C(2)解由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x的距离相等由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y22px(p0)的形式，而，所以p1，2p2，故点M的轨迹方程为y22x
8、(x0)母题探究(变设问)若本例(2)中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标解：设点N的坐标为(x0，y0)，则|NF|2.又点M的轨迹方程为y22x(x0)，所以由抛物线的定义得x02，解得x0.因为y2x0，所以y0，故点N的坐标为或.抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题；(2)解决最值问题在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题 抛物线的实际应用例3(链接教科书第132页例
9、2)某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？解如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，2)设桥孔上部抛物线方程是x22py(p0)，则1022p(2)，所以p25，所以抛物线方程为x250
10、y，即yx2.若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x8时，y821.28，即船体在x8之间通过点B(8，1.28)，此时B点距水面6(1.28)4.72(米)而船体高为5米，所以无法通行又因为54.720.28(米)，0.280.047，15071 050(吨)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔求抛物线实际应用的五个步骤 跟踪训练汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197 mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69 mm.由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行
11、光线为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1 mm)解：如图，在车灯的一个轴截面上建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y22px(p0)，灯泡应安装在其焦点F处在x轴上取一点C，使|OC|69 mm，过点C作x轴的垂线，交抛物线于A，B两点，线段AB就是灯口的直径，即|AB|197 mm，则点A的坐标为.将点A的坐标代入方程y22px(p0)，解得p70，此时焦点F的坐标约为(35，0)因此，灯泡应安装在对称轴上距顶点约35 mm处圆锥曲线的共性探究(链接教科书第113页例6)动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和M到定直线l：x的距离的比是常数，求动点M的轨迹(链接教科书第125页例5
12、)动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和它到定直线l：x的距离的比是常数，求动点M的轨迹(链接教科书第130页)抛物线的定义问题探究由上述教科书中两道典型例题结合抛物线的定义可知，三种曲线都是动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比是一个常数当这个常数大于0且小于1时，动点轨迹为椭圆；当常数等于1时为抛物线；当常数大于1时为双曲线结论：动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为一个常数，即e.(1)当0e1时，动点M的轨迹是椭圆；(2)当e1时，动点M的轨迹是抛物线；(3)当e1时，动点M的轨迹是双曲线此时定点F为圆锥曲线的一个焦点，定直线l叫做圆锥曲线对应该焦点F的一条准线x，常数
13、e就是该圆锥曲线的离心率，此结论称为圆锥曲线的统一定义(也称为第二定义)迁移应用(2018全国卷)设椭圆C：y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明OMAOMB.解：(1)由已知得F(1，0)，直线l的方程为x1，点A的坐标为或，又M(2，0)，AM的方程为y x或yx.(2)证明：由y21结合圆锥曲线的统一定义可知，M点为椭圆的右准线x2与x轴的交点，如图所示当直线l与x轴重合时，OMAOMB0，当l与x轴不重合时，过点A，B分别作x2的垂线，垂足分别是C，D，则有ACBDx轴由结论可知e，
14、e，即，又ACBDx轴，且ACMBDM90，ACMBDM，可得AMCBMD，OMAOMB.1经过点(2，4)的抛物线的标准方程为()Ay28xBx2yCy28x或x2y D无法确定解析：选C由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y22px(p0)或x22py(p0)，将(2，4)代入可得p4或p，所以所求抛物线的标准方程为y28x或x2y，故选C.2如果抛物线y22px的准线是直线x2，那么它的焦点坐标为_解析：因为准线方程为x2，即p4，所以焦点为(2，0)答案：(2，0)3若抛物线y22px(p0)上有一点M，其横坐标为9，且点M到焦点的距离为10，求点M的坐标解：由抛物线方程y22px(p0)，得焦点坐标为F，准线方程为x.设点M到准线的距离为d，则d|MF|10，即(9)10，解得p2，故抛物线方程为y24x.设点M的纵坐标为y0，由点M(9，y0)在抛物线上，得y06，故点M的坐标为(9，6)或(9，6)
