1、基础诊断考点突破课堂总结第2讲 排列与组合基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；3.能解决简单的实际问题.基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个不同元素按照排成一列组合合成一组一定的顺序基础诊断考点突破课堂总结2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数(2)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数不同排列不同组合基础诊断考点突破课堂总结3排列数、
2、组合数的公式及性质公式(1)Amnn！nm！(2)CmnAmnAmm nn1n2nm1m！n！m！nm！(n，mN*，且 mn)特别地 C0n1性质(1)0！；Ann.(2)CmnCnmn；Cmn1 CmnCm1n.n(n1)(n2)(nm1)1n！基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(请在括号中打“”或“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同()基础诊断考点突破课堂总结(3)若组合式 CxnCmn，则 xm 成立()(4)(n1)！n！nn！.()基础诊断考点突破课堂总结2用数字 1、2、3、4、5 组成的无重复数字的
3、四位偶数的个数为()A8 B24 C48 D120解析 分两步：(1)先排个位有 A12种排法(2)再排前三位有 A34种排法，故共有 A12A3448(种)排法答案 C基础诊断考点突破课堂总结3(2014大纲全国卷)有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组则不同的选法共有()A60 种 B70 种 C75 种 D150 种解析 从 6 名男医生中选出 2 名有 C26种选法，从 5 名女医生中选出 1 名有 C15种选法，由分步乘法计数原理得不同的选法共有 C26C1575 种故选 C.答案 C基础诊断考点突破课堂总结4将 4 名大学生分配到 3 个
4、乡镇去当村官，每个乡镇至少 1名，则不同的分配方案共有_种解析 先将 4 名大学生分成 3 组，共 C24种分法，再将 3 组分到 3 个乡镇，共 A33种安排方法，总分配方案共 C24A3336(种)答案 36基础诊断考点突破课堂总结5从 4 名男同学和 3 名女同学中选出 3 名参加某项活动，其中男女生都有的选法种数为_种解析 分两类：男 1 女 2 或男 2 女 1，各有 C14C23和 C24C13种方法，所以选法种数为 C14C23C24C13121830(种)也可用间接法 C37C34C3330.答案 30基础诊断考点突破课堂总结考点一 典型的排列问题 【例1】3名女生和5名男生排
5、成一排(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？(2)如果女生都不相邻，有多少种排法？(3)如果女生不站两端，有多少种排法？(4)其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少种排法？(5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？基础诊断考点突破课堂总结解(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有 6 个元素，排成一排有 A66种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有 A33种排法，因此共有A66A334 320(种)不同排法(2)(插空法)先排 5 个男生，有 A55种排法，这 5 个男生之间和两端有 6 个位置，从中选取 3 个位置排女生，有 A36种排
6、法，因此共有 A55A3614 400(种)不同排法基础诊断考点突破课堂总结(3)法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从 5 个男生中选 2 人排列，有 A25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有 A66种排法，因此共有 A25A6614 400(种)不同排法法二(元素分析法)：从中间 6 个位置选 3 个安排女生，有 A36种排法，其余位置无限制，有 A55种排法，因此共有 A36A5514 400(种)不同排法(4)8 名学生的所有排列共 A88种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中12，符合要求的排法种数为12A8820 160(种)基础诊断考点突破课堂总结(5)甲、乙为特殊元素，
7、左、右两边为特殊位置法一(特殊元素法)：甲在最右边时，其他的可全排，有 A77种；甲不在最右边时，可从余下 6 个位置中任选一个，有 A16种而乙可排在除去最右边位置后剩余的 6 个中的任一个上，有 A16种，其余人全排列，共有 A16A16A66种由分类计数原理，共有 A77A16A16A6630 960(种)法二(特殊位置法)：先排最左边，除去甲外，有 A17种，余下 7个位置全排，有 A77种，但应剔除乙在最右边时的排法 A16A66种，因此共有 A17A77A16A6630 960(种)基础诊断考点突破课堂总结法三(间接法)：8 个人全排，共 A88种，其中，不合条件的有甲在最左边时，
8、有 A77种，乙在最右边时，有 A77种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有 A66种因此共有A882A77A6630 960(种)基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】用 0、1、2、3、4、5 这 6 个数字(1)能组成多少个无重复数的四位偶数？(2)能组成多少
9、个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)?解(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0 在个位时，有 A35个；第二类：2 在个位时，首位从 1,3,4,5 中选定 1 个(A14种)，十位和百位从余下的数字中选，有 A24种，于是有 A14A24个；第三类：4 在个位时，与第二类同理，也有 A14A24个由分类加法计数原理得，共有 A352A14A24156(个)基础诊断考点突破课堂总结(2)先排 0、2、4，再让 1、3、5 插空，总的排法共 A33A34144(种)，其中 0 在排头，将 1、3、5 插在后 3 个空的排法共 A22A3312(种)，此时，构不成六位数，故总的六位数的
10、个数为 A33A34A22A3314412132(种)基础诊断考点突破课堂总结考点二 组合应用题【例2】(2015北京海淀区模拟)男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人选派5人外出比赛在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员基础诊断考点突破课堂总结解(1)第一步：选 3 名男运动员，有 C36种选法第二步：选 2 名女运动员，有 C24种选法共有 C36C24120(种)选法(2)法一 至少有 1 名女运动员包括以下几种情况：1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4
11、 女 1 男由分类加法计数原理可得总选法数为 C14C46C24C36C34C26C44C16246(种)基础诊断考点突破课堂总结法二“至少有 1 名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解从 10 人中任选 5 人有 C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种所以“至少有 1 名女运动员”的选法为 C510C56246(种)基础诊断考点突破课堂总结(3)法一 可分类求解：“只有男队长”的选法为 C48；“只有女队长”的选法为 C48；“男、女队长都入选”的选法为 C38；所以共有 2C48C38196(种)选法基础诊断考点突破课堂总结法二 间接法：从 10 人中任选 5 人有
12、 C510种选法其中不选队长的方法有 C58种所以“至少有 1 名队长”的选法为 C510C58196(种)(4)当有女队长时，其他人任意选，共有 C49种选法不选女队长时，必选男队长，共有 C48种选法，其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长时的选法共有 C48C45种选法所以既有队长又有女运动员的选法共有 C49C48C45191(种)基础诊断考点突破课堂总结规律方法 组合问题常有以下两类题型(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若
13、直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，求：(1)甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？解(1)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，且甲、乙所选课程中恰有 1 门相同的选法种数共有 C24C12C1224(种)(2)甲、乙两人从 4 门课程中各选两门不同的选法种数为 C24C24，又甲、乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为 C24种，因此满足条件的不同选法种数为 C24C24C2430(种).基础诊断考点突破课堂总结考点三 排列、组合的综合应用
14、【例 3】4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒内(1)恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？解(1)把 4 个不同小球分三组，共 C24种分法对每种分法分成的三组再放入 4 个盒中的 3 个盒子，共 A34种放法，所以总的放法种数为 C24A34624144(种)基础诊断考点突破课堂总结(2)确定 2 个空盒有 C24种方法4 个球放进 2 个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有 C34C11A22种方法；第二类有序均匀分组有C24C22A22 A22种方法故共有 C24(C34C11A22C24C22A22 A22)
15、84(种)基础诊断考点突破课堂总结规律方法 排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素组合(分组)，再对取出的元素排列，分组时要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】(1)(2014浙江卷)在 8 张奖券中有一、二、三等奖各1 张，其余 5 张无奖将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答)(2)某校高二年级共有 6 个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为()AA26C24B.12A26C24CA26A24D2A26基础诊断考点突破课堂总结解析(
16、1)分两类：第一类：3 张中奖奖券分给 3 个人，共 A34种分法；第二类：3 张中奖奖券分给 2 个人相当于把 3 张中奖奖券分两组再分给 4 人中的 2 人，共有 C23A24种分法总获奖情况共有 A34C23A2460(种)(2)法一 将 4 人平均分成两组有12C24种方法，将此两组分配到 6个班级中的 2 个班有 A26(种)所以不同的安排方法有12C24A26(种)基础诊断考点突破课堂总结法二 先从 6 个班级中选 2 个班级有 C26种不同方法，然后安排学生有 C24C22种，故有 C26C2412A26C24(种)答案(1)60(2)B基础诊断考点突破课堂总结【训练4】(1)甲
17、、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_(用数字作答)(2)将6位志愿者分成4个组，其中两个组各2人，另两个组各1人分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案种数有_种基础诊断考点突破课堂总结解析(1)当每个台阶上各站 1 人时有 A33C37种站法，当两个人站在同一个台阶上时有 C23C17C16种站法，因此不同的站法种数有A33C37C23C17C16210126336(种)(2)将 6 位志愿者分为 2 名，2 名，1 名，1 名四组，有C26C24A22 1215645 种分组方法将四组分赴四个不同场馆有 A44种方
18、法根据分步乘法计数原理，不同的分配方案有 45A441 080 种方法答案(1)336(2)1 080基础诊断考点突破课堂总结思想方法1求解排列、组合应用题的一般步骤(1)弄清事件的特性，把具体问题化归为排列问题或组合问题，其中“有序”是排列问题，“无序”是组合问题(2)通过分析，对事件进行合理的分类、分步，或考虑问题的反面情况(3)分析上述解法中有没有重复和遗漏现象，若有，则计算出重复数和遗漏数(4)列出算式并计算作答基础诊断考点突破课堂总结2对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊
19、位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数基础诊断考点突破课堂总结3排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件基础诊断考点突破课堂总结易错防范1区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关2解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义3对于分配问题，一般是坚持先分组，再分配的原则，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.
