1、6.1导数6.1.1函数的平均变化率学 习 任 务核 心 素 养1理解平均变化率的概念(重点)2会求函数的平均变化率(难点、易混点)3会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题(难点)1通过函数的平均变化率的学习，培养数学抽象素养2借助函数的平均变化率的计算，提升数学运算素养蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)15，其中T(t)为体温(单位：)，t为太阳落山后的时间(单位：min)问题：(1)从t0到t10，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t0到t10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？提示(1)在t0和t10时，蜥蜴的体温分别为T(0)1539，T(10)1523，
2、故从t0到t10，蜥蜴的体温下降了16(2)平均变化率为1.6它表示从t0到t10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 知识点1函数的平均变化率一般地，若函数yf(x)的定义域为D，且x1，x2D，x1x2，y1f(x1)，y2f(x2)，则(1)自变量的改变量xx2x1；(2)因变量的改变量yy2y1(或ff(x2)f(x1)；(3)f(x)在x1，x2上的平均变化率为在平均变化率中，x，y，是否可以为0？当平均变化率为0时，是否说明函数在该区间上一定为常函数？提示在平均变化率中，x可正可负但x不可以为0；y可以为0；可以为0当0时，并不能说明函数在该区间上一定为常函数，如f(x)x2在区间2，
3、2上的平均变化率是0，但它不是常函数拓展：函数的平均变化率的几何意义如图所示，函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率，就是直线AB的斜率，其中A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)，事实上kAB1如图，函数yf(x)在1，3上的平均变化率为()A1B1C2D2B1知识点2平均速度与平均变化率如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为xh(t)，则物体在t1，t2(t1t2时)或t2，t1(t2211kMA，2kAB，3kBC，由图像可知：kMAkAB21 类型1求函数的平均变化率【例1】(对接教材P62例1)求yf(x)2x21在区间x0，x0x上的平均变化率，并求当x01，x时平均
4、变化率的值解yf(x0x)f(x0)2(x0x)21(2x1)4x0x2(x)2，函数f(x)2x21在区间x0，x0x上的平均变化率为4x02x，当x01，x时，平均变化率为4125求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量x与因变量的增量y，求平均变化率的主要步骤是：跟进训练1如果函数yaxb在区间1，2上的平均变化率为3，则a()A3B2C3D2C根据平均变化率的定义，可知a32已知函数f(x)2x24的图像上一点(1，2)及附近一点(1x，2y)，则等于()A4B4xC42xD42(x)2Cyf(1x)f(1)2(1x)24(2)2(x)24x，42x 类型2
5、求物体运动的平均变化率【例2】跳水运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)4.9t26.5t10(1)求运动员在这段时间内的平均速度；(2)运动员在这段时间内是静止的吗？(3)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？解(1)0 (m/s)，即运动员在这段时间内的平均速度是0 m/s(2)运动员在这段时间里显然不是静止的(3)由上面的计算结果可以看出，平均速度并不能反映出运动员的运动状态，特别是当运动的方向改变时1平均速度反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值2运动物体在t0到t1这
6、段时间内运动的平均速度就是物体运动的位移函数s(t)在区间t0，t1上的平均变化率，因此求平均速度的实质就是求函数的平均变化率跟进训练3一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)5t2mt，且这一物体在2t3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为()A2 B1 C1 D6B由已知，得26，所以(5323m)(5222m)26，解得m1，故选B 类型3平均变化率的应用【例3】(1)A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有()A两机关单位节能效果一样好BA机关单位比B机关单
7、位节能效果好CA机关单位的用电量在0，t0上的平均变化率比B机关单位的用电量在0，t0上的平均变化率大DA机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大(2)巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力想想看，为什么？你能用数学语言来量化AB段、BC段曲线的陡峭程度吗？(1)B由题可知，A机关单位所对应的图像比较陡峭，B机关单位所对应的图像比较平缓，且用电量在0，t0上的平均变化率都小于0，故一定有A机关单位比B机关单位节
8、能效果好故选B(2)解山路从A到B高度的平均变化率为kAB，山路从B到C高度的平均变化率为kBC，kBCkAB，山路从B到C比从A到B陡峭函数的平均变化率表示点(x0，f(x0)与点(x1，f(x1)连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”，其值可粗略地表示函数的变化趋势(1)当比较函数平均变化率的大小时，可以先将函数在每个自变量附近的平均变化率求出，然后进行大小的比较(2)当识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，图像在点x0附近的图像越“陡峭”，函数值变化就越快跟进训练4已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数yf(x)的图像上，若函数f(x)从x1到x2的平均变化率为，则
9、下面叙述正确的是()A曲线yf(x)的割线AB的倾斜角为B曲线yf(x)的割线AB的倾斜角为C曲线yf(x)的割线AB的斜率为D曲线yf(x)的割线AB的斜率为B函数f(x)从x1到x2的平均变化率就是割线AB的斜率，所以kAB，割线AB的倾斜角为，故选B1某物体的运动规律是ss(t)，则该物体在t到tt这段时间内的平均速度是()ABCDA由平均速度的定义可知，物体在t到tt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比所以2设函数yf(x)x21，当自变量x由1变为1.1时，则函数的平均变化率为()A2.1B1.1C2D0A2.13如图所示，函数yf(x)在x1，x2，x2，x3，x3，
10、x4这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是_x3，x4由平均变化率的定义可知，函数yf(x)在区间x1，x2，x2，x3，x3，x4上的平均变化率分别为：，结合图像可以发现函数yf(x)的平均变化率最大的一个区间是x3，x44函数f(x)x2x在区间2，t上的平均变化率是2，则t_5因为函数f(x)x2x在区间2，t上的平均变化率是2，所以2，即t2t62t4，从而t23t100，解得t5或t2(舍去)回顾本节知识，自我完成以下问题：1函数的平均变化率是固定不变的吗？提示不一定当x1取定值，x取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当x取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同比如，f(x)2x在区间0，2和2，4上都有x2，但y分别为413和16412，则平均变化率分别为和62一次函数f(x)axb(a0)从x1到x2的平均变化率有什么特点？提示一次函数的图像为一条直线，图像上任意两点连线的斜率固定不变，故一次函数f(x)axb(a0)在定义域内的任意区间上的平均变化率都等于常数a
