1、高考资源网（） 您身边的高考专家第八节函数与方程1函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根2二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系000二次函数yax2bxc(a0)与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数2101两个注意点(1)函数的零点不是点，是方程f(x)0的实根
2、(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件2三个结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象在零点两侧时，函数值可能变号，也可能不变号3三个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点1(基础知识：零点个数)函数f(x)lg xx6的零点个数为()A0 B1C2 D3答案：B2(基础知识：零点区间判断)函数
3、f(x)ex14x4的零点所在区间为()A(1，0) B(0，1)C(1，2) D(2，3)答案：B3(基本方法：二分法求函数零点)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()答案：A4(基本应用：利用零点个数求参数)若函数f(x)x24xa存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是_答案：(，4)5(基本能力：求零点)函数f(x)2sin xsin 2x在0，内的零点为_答案：0或题型一确定函数零点所在区间 1设f(x)ln xx4，则f(x)的零点所在区间为()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)解析：f(2)ln 220，f(3)ln 310，零点在(
4、2，3)内答案：C2设函数f(x)xln x，则函数yf(x)()A在区间，(1，e)内均有零点B在区间，(1，e)内均无零点C在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点解析：令f(x)0得xln x作出函数yx和yln x的图象，如图所示，显然yf(x)在内无零点，在(1，e)内有零点答案：D方法总结 确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定的区间上(2)图象法：把方程转化为两个函数，看它们的交点所在区间(3)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续
5、，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(4)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 题型二函数零点的个数 典例剖析典例(1)已知函数f(x)则函数yf(f(x)1的零点的个数是()A4 B3C2 D1解析：由f(f(x)10得f(f(x)1，由f(2)f1得f(x)2或f(x).若f(x)2，则x3或x；若f(x)，则x或x.综上可得，函数yf(f(x)1的零点的个数是4.答案：A(2)已知函数f(x)cos x，则f(x)在0，2上的零点个数为()A1 B2C3 D4解析：函数f(x)cos x0的零点个数为cos x
6、的根的个数，即函数h(x)与g(x)cos x的图象的交点个数如图所示，在区间0，2上交点个数为3.答案：C(3)函数f(x)的零点个数是_解析：当x0时，令x220，解得x(正根舍去)，所以在(，0上，f(x)有一个零点；当x0时，f(x)20恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数又因为f(2)2ln 20，f(3)ln 30，所以f(x)在(0，)上有一个零点综上，函数f(x)的零点个数为2.答案：2方法总结 函数零点个数的判断方法方法解读适合题型直接法令f(x)0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点基本初等函数图象法画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴的交点个数即为
7、函数f(x)的零点个数分段函数、绝对值函数转化法将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而f(x)0h(x)g(x)0h(x)g(x)，则函数f(x)的零点个数即为函数yh(x)与函数yg(x)的图象的交点个数复杂函数 对点训练函数f(x)2xx32在区间(0，1)内的零点个数是()A0 B1C2 D3解析：法一：f(0)f(1)(1)110，且函数在定义域上单调递增且连续，函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点法二：设y12x，y22x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间(0，1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数故函数f(x)在区间(0，1)内
8、有且只有1个零点答案：B题型三函数零点的应用 典例剖析类型 1已知函数零点或方程根的个数求参数例1已知函数f(x)若函数g(x)f(x)a有3个零点，则实数a的取值范围是()A BC(e2，1) D(，1)解析：x0时，f(x)(x1)ex，f(x)(2x)ex，由f(x)0，得x2，由f(x)0，得x2，f(x)在(，2)上递增，在(2，0)上递减，故f(x)maxf(2)，且x1时，f(x)0，画出yf(x)的图象如图所示，由图知当0a时，yf(x)与ya的图象有三个交点，即g(x)有三个零点，实数a的取值范围是.答案：A类型 2已知函数在某区间上有零点求参数例2已知定义在R上的偶函数f(
9、x)满足f(x4)f(x)，且在区间0，2上f(x)x，若关于x的方程f(x)logax有三个不同的实数根，则a的取值范围为_解析：由f(x4)f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x4)f(x)f(4x)，所以函数图象关于x2对称，且f(2)f(6)f(10)2，要使方程f(x)logax有三个不同的根，则满足如图所示，解得a.故a的取值范围是(，).答案：(，)类型 3函数零点的实际意义例3某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象如图所示(1)试说明图上点A、B的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，根据图提出扭亏为盈的建议解析：(1)A是当x0(无乘客)亏损1个单位B是当
10、x1.5时，y0收支持平(为函数的零点).(2)由题图知，函数图象向上平移；函数零点变小，收支持平时，乘客数变小，其建议可以是票价不变，降低运行成本，如换新能源车，延长每趟车次发车的时间差等方法总结1解决已知函数零点的存在情况求参数的取值范围问题时，应该根据零点的存在情况，利用函数零点的存在性定理、二次函数的判别式等得到关于参数的不等式(组)，然后求解即可破解此类题的关键点：(1)转化，把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况；(2)列式，根据零点存在性定理或结合函数图象列式；(3)下结论，求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围2已知根或零点的区间求参数，要根据区
11、间建立不等关系，其关键点为：(1)构造方程或函数(反解参数)；(2)利用零点区间，求解函数的值域或不等式；(3)确定参数范围题组突破1(2020安徽安庆模拟)函数f(x)x2ax1在区间上有零点，则实数a的取值范围是()A(2，) B2，)C D解析：由x2ax10得ax，其中x.函数yx在上为减函数，在(1，3)为增函数，ymin2，ymax.a.答案：D2已知函数f(x)其中m0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_解析：函数f(x)的大致图象如图所示，根据题意知只要m4mm2即可，又m0，解得m3，故实数m的取值范围是(3，).答案：(3，)3若函数
12、f(x)x ln xa有两个零点，则实数a的取值范围是_解析：令g(x)x ln x，h(x)a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图象有两个交点g(x)ln x1，令g(x)0，即ln x1，可解得0x；令g(x)0，即ln x1，可解得x，当0x时，函数g(x)单调递减；当x时，函数g(x)单调递增，由此可知当x时，g(x)min.在同一坐标系中作出函数g(x)和h(x)的简图如图所示，据图可得a0.答案： (2018高考全国卷)已知函数(x)g(x)(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A.1，0) B0，)C1，) D1，)解析：令h(x)xa，则g(x)(x)h
13、(x).在同一坐标系中画出y(x)，yh(x)图象的示意图，如图所示若g(x)存在2个零点，则y(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象，可知当直线yxa过点(0，1)时，有2个交点，此时10a，a1.当yxa在yx1上方，即a1时，仅有1个交点，不符合题意当yxa在yx1下方，即a1时，有2个交点，符合题意综上，a的取值范围为1，).答案：C (2021湖北宜昌两校第一次联考)已知函数f(x)log2(x1)3xm的零点在(0，1上，则实数m的取值范围为()A(4，0)B(，4)(0，)C(，40，)D4，0)解析：易知函数f(x)log2(x1)3xm在定义域上单调递增，由函数f(x)在(0，1上存在零点，得即解得4m0，即实数m的取值范围为4，0).答案：D- 9 - 版权所有高考资源网
