1、专题检测（十） 空间几何体、三视图、表面积与体积A组“124”满分练一、选择题1.(2019福州市第一学期抽测)如图，为一圆柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧视图可以是()解析：选B由题意，根据切削后的几何体及其正视图，可得相应的侧视图的切口为椭圆，故选B.2.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则PAC在该正方体各个面上的正投影可能是()A.B.C. D.解析：选B连接A1C1，则点P在上、下底面的正投影落在A1C1或AC上，所以PAC在上底面或下底面的正投影为，在前面、后面、左面、右面的正投影为.故选B.3.(2019武汉市调研测试)如图，在棱长为1的正方体AB
2、CDA1B1C1D1中，M为CD的中点，则三棱锥ABC1M 的体积VABC1M()A. B.C. D.解析：选CVABC1MVC1ABMSABMC1CABADC1C.故选C.4.设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为()A.100B.C. D.解析：选D因为切面圆的半径r4，球心到切面的距离d3，所以球的半径R5，故球的体积VR353，即该西瓜的体积为.故选D.5.(2019届高三开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()A.4 B.2C. D.解析：选B由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆
3、柱的一部分，设底面扇形的圆心角为，由tan ，得，故底面面积为22，则该几何体的体积为32.故选B.6.某圆锥的侧面展开图是面积为3且圆心角为的扇形，此圆锥的体积为()A. B.C.2 D.2解析：选B设圆锥的母线为R，底面圆的半径为r，扇形的圆心角为，则SR2R23，解得R3，底面圆的半径r满足，解得r1，所以这个圆锥的高h2，故圆锥的体积Vr2h.故选B.7.已知矩形ABCD，AB2BC，把这个矩形分别以AB，BC所在直线为轴旋转一周，所成几何体的侧面积分别记为S1，S2，则S1与S2的比值等于()A. B.1C.2 D.4解析：选B设BCa，AB2a，所以S12a2a4a2，S222aa
4、4a2，S1S21.故选B.8.(2019广东省七校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别是()A.246和40 B.246和72C.646和40 D.646和72解析：选C把三视图还原成几何体，如图所示.由题意知S四边形ABCD12，S8，S6，S(26)416，S(26)312.易得B1A1SA1，B1C1SC1，且SA14，SC15，所以S346，S4510，所以该几何体的表面积为12861612610646.在棱SD上取一点D1，使得DD12，连接A1D1，C1D1，则该几何体的体积VVV12412240.故选C.9.(2019蓉城名校第一次联考)已知一个几何体的
5、正视图和侧视图如图1所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形(如图2所示)，则此几何体的体积为()A.1 B.C.2 D.2解析：选B根据直观图可得该几何体的俯视图是一个直角边长分别是2和的直角三角形(如图所示)，根据三视图可知该几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为3，所以体积V3.故选B.10.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体，如图所示，四边形ABCD为矩形，棱EFAB.若此几何体中，AB4，EF2，ADE和BCF都是边长为2的等边三角形，则该几何体的表面积为()A.8 B.88C.62 D.862解析：选
6、B如图所示，取BC的中点P，连接PF，则PFBC，过F作FQAB，垂足为Q.因为ADE和BCF都是边长为2的等边三角形，且EF AB，所以四边形ABFE为等腰梯形，FP，则BQ(ABEF)1，FQ ，所以S梯形EFBAS梯形EFCD(24)3，又SADESBCF2，S矩形ABCD428，所以该几何体的表面积S322888.故选B.11.古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成.一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为()A.63 B.72C.79 D.99解析：选A由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中
7、圆柱的高为5，底面圆的半径为3，半球的半径为3，所以组合体的体积为3253363.故选A.12.已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的表面上，PA平面ABC，ABBC，且PA8.若平面ABC截球O所得截面的面积为9，则球O的表面积为()A.10 B.25C.50 D.100解析：选D设球O的半径为R，由平面ABC截球O所得截面的面积为9，得ABC的外接圆的半径为3.设该外接圆的圆心为D，因为ABBC，所以点D为AC的中点，所以DC3.因为PA平面ABC，易证PBBC，所以PC为球O的直径.又PA8，所以ODPA4，所以ROC 5，所以球O的表面积为S4R2100.故选D.二、填空题13.(20
8、19长春市质量监测一)已知一所有棱长都是的三棱锥，则该三棱锥的体积为_.解析：记所有棱长都是的三棱锥为PABC，如图所示，取BC的中点D，连接AD，PD，作POAD于点O，则PO平面ABC，且OP，故三棱锥PABC的体积VSABCOP()2.答案：14.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点.若AA14，AB2，则四棱锥BACC1D的体积为_.解析：取AC的中点O，连接BO(图略)，则BOAC，所以BO平面ACC1D.因为AB2，所以BO.因为D为棱AA1的中点，AA14，所以AD2，所以S梯形ACC1D(24)26，所以四棱锥BACC1D的体积为62.答案：215.如图，半
9、径为4的球O中有一内接圆柱，则圆柱的侧面积最大值是_.解析：设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为，则r4cos ，圆柱的高为8sin .所以圆柱的侧面积为32sin 2.当且仅当时，sin 21，圆柱的侧面积最大，所以圆柱的侧面积的最大值为32.答案：3216.(2019江西省五校协作体试题)某几何体的三视图如图所示，正视图是一个上底为2，下底为4的直角梯形，俯视图是一个边长为4的等边三角形，则该几何体的体积为_.解析：把三视图还原成几何体ABCDEF，如图所示，在AD上取点G，使得AG2，连接GE，GF，则把几何体ABCDEF分割成三棱柱ABCGEF和三棱锥DGEF，所以VABCD
10、EFVABCGEFVDGEF4242.答案：B组“53”提速练1.(2019福州市质量检测)棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1木块的直观图如图所示，平面过点D且平行于平面ACD1，则该木块在平面内的正投影面积是()A.B.C. D.1解析：选A棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1木块在平面内的正投影是三个全等的菱形，如图，正投影可以看成两个边长为的等边三角形，所以木块在平面内的正投影面积是2.故选A.2.在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，P在线段BD1上，且，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥MPBC的体积为()A.1 B.C. D.与M点的位置有关解析：选B，点P到平面
11、BCC1B1的距离是D1到平面BCC1B1距离的，即为1.M为线段B1C1上的点，SMBC33，VMPBCVPMBC1.故选B.3.(2019重庆市学业质量调研)三棱锥SABC中，SA，SB，SC两两垂直，已知SAa，SBb，SC2，且2ab，则此三棱锥的外接球的表面积的最小值为()A. B.C.4 D.6解析：选A由题意，设三棱锥的外接球的半径为R，因为SA，SB，SC两两垂直，所以以SA，SB，SC为棱构造长方体，其体对角线即三棱锥的外接球的直径，因为SAa，SBb，SC2，所以4R2a2b24a245(a1)2，所以a1时，(4R2)min，所以三棱锥的外接球的表面积的最小值为.故选A.
12、4.(2019洛阳尖子生第二次联考)已知正三角形ABC的三个项点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面圆面积的最小值是()A. B.2C. D.3解析：选C设正三角形ABC的中心为O1，连接OO1，OA，O1A，由题意得O1O平面ABC，O1O1，OA2，在RtO1OA中，O1A，AB3.E为AB的中点，AE.连接OE，则OEAB.过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径r，可得截面圆面积的最小值为r2.故选C.5.(2019全国卷)已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是
13、边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF90，则球O的体积为()A.8 B.4C.2 D.解析：选D设PAPBPC2a，则EFa，FC，EC23a2.在PEC中，cosPEC.在AEC中，cosAEC.PEC与AEC互补，34a21，a，故PAPBPC.又ABBCAC2，PAPBPC，外接球的直径2R ，R，VR3.故选D.6.(2019全国卷)已知ACB90，P为平面ABC外一点，PC2，点P到ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为_.解析：如图，过点P作PO平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离.再过O作OEAC于E，OFBC于F，连接PC，PE，
14、PF，则PEAC，PFBC.又PEPF，所以OEOF，所以CO为ACB的平分线，即ACO45.在RtPEC中，PC2，PE，所以CE1，所以OE1，所以PO .答案：7.(2019河南八市重点高中联盟测评改编)已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为_，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为_.解析：该三棱锥侧面的斜高为 ，则S侧322，S底2，所以三棱锥的表面积S表23.由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大.设三棱锥的内切球的半径为r，则三棱锥的体积V锥S表rS底1，所以3r，所以r，所以三棱锥的内切球的体积最大为Vmaxr3.答案：38.已知在正四棱锥SABCD中，SA6，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为_.解析：设正四棱锥的底面正方形的边长为a，高为h，因为在正四棱锥SABCD中，SA6，所以h2108，即a22162h2，所以正四棱锥的体积VSABCDa2h72hh3，令y72hh3，则y722h2，令y0，得0h6，令y6，所以当该棱锥的体积最大时，它的高为6.答案：6
