1、椭圆一、单选题1动直线与椭圆有两个不同的交点,在椭圆上找一点使的面积最大,则的最大值是A1B2CD解:设,联立,得,得,当过点直线与动直线平行且与椭圆只有一个交点时,点到动直线距离取到最值(最大或最小),不妨设过点直线方程为,联立,整理得,则根据,可得,不妨取,则到直线的距离,令,则令,则当时,当,时,的最大值为故选:2已知椭圆与双曲线有公共焦点,为左焦点,为右焦点,点为它们在第一象限的一个交点,且,设,分别为椭圆双曲线离心率,则的最大值为ABCD解:设椭圆与双曲线的标准方程分别为:,且,设,则,解得:,化为:令,当且仅当时取等号故选:3设椭圆的右焦点为,椭圆上的两点、关于原点对称,且满足,则
2、椭圆的离心率的取值范围是A,B,C,D,解:作出椭圆的左焦点,由椭圆的对称性可知,四边形为平行四边形,又,即,故平行四边形为矩形,设,则在直角三角形中,得,得,令,得,又由,得,即,即,得,即,即,则,即,得得则椭圆的离心率的取值范围是,故选:4已知直线与椭圆相切于第一象限的点,且直线与轴、轴分别交于点、,当为坐标原点)的面积最小时,、是椭圆的两个焦点),则此时中的平分线的长度为ABCD解:由题意,切线方程为,直线与、轴分别相交于点、,当且仅当时,为坐标原点)的面积最小,设,则,由余弦定理可得,的面积,设中的平分线的长度为,则,故选:5已知点,在椭圆上,若点为椭圆的右顶点,且为坐标原点),则椭
3、圆的离心率的取值范围是AB,C,D解:由题意知,点,则,;又,代入椭圆方程中,整理得;令,;,(a),如图所示:,对称轴满足,即,;又,;则椭圆的离心率的取值范围是,故选:6已知,是椭圆的左右焦点,若上存在不同两点,使得,则该椭圆的离心率的取值范围为A,BC,D解:延长交椭圆于,根据椭圆的对称性,则,设直线的方程,联立,整理得:,则,由,则,解得:,由,整理得:,则,即,椭圆的离心率,椭圆的离心率的取值范围,方法二:利用椭圆的极坐标方程由,且,由,所以,整理得,其中,由,不重合,所以,解得,所以,椭圆的离心率的取值范围,故选:7已知点为椭圆的左顶点,为椭圆的右焦点,、在椭圆上,四边形为平行四边
4、形为坐标原点),过直线上一点作圆的切线,为切点,若面积的最小值大于,则椭圆的离心率的取值范围是ABCD解:因为四边形为平行四边形,所以,设点纵坐标为,代入椭圆的方程得,解得,则,解得,当,可得,所以直线的方程为,化简可得,所以即为点到直线的距离,所以,所以,整理得,故,所以,所以,所以舍去)或,所以的取值范围为,故选:8已知,是离心率为的椭圆的焦点,是椭圆上第一象限的点,若是的内心,是的重心,记与的面积分别为,则ABCD解:离心率为,则,设的坐标为,三角形的面积为,则,是的重心,即,设内切圆的半径为,则,则,即,即,则,则,即则,即,故选:9已知椭圆,直线过椭圆的左焦点且交椭圆于、两点,的中垂
5、线交轴于点,则的取值范围为ABCD解:由椭圆的方程:,可得左焦点,当直线的斜率为0时,则直线为轴,的中垂线为轴,这时与原点重合,这时,所以,当直线的斜率不存在时,的中垂线为轴,舍去,当直线的斜率不为0时,设直线的方程为,设,的坐标分别为,联立直线与椭圆的方程:,整理可得:,所以弦长,所以的中点坐标,所以直线的中垂线方程为:,令,可得,所以,所以,所以,综上所述的取值范围,故选:10已知,是椭圆的左、右焦点,且椭圆上存在一点,使得,若点,分别是圆和椭圆上的动点,则当椭圆的离心率取得最小值时,的最大值是ABCD解:若要满足椭圆上存在一点,使得,只需的最大值不小于即可,在三角形中,由余弦定理可得:,
6、当且仅当,即此时为椭圆短轴的端点时,最大,如图,不妨设点为短轴的上顶点时,最大,设,则,所以,因此当椭圆的离心率取得最小值时,故椭圆的标准方程为,连接,则,所以只需研究的最大值即可,连接,当且仅当,三点共线点在线段的延长线上)时,不等式取得等号,所以的最大值,故的最大值是故选:二、 多选题11设椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上,且,过点的直线交椭圆于,两点,且,关于点对称,则下列结论正确的有A椭圆的方程为B椭圆的焦距为C椭圆上存在4个点,使得D直线的方程为解:由椭圆的定义知,故,因为,所以,所以,所以椭圆的方程为,所以椭圆的焦距为,则正确,错误,由知,故点在以为直径的圆上,由知圆与椭圆有4个
7、交点,正确,依题意知点为弦的中点,设,则,两式作差可得,因为,所以,故直线的方程为:,即,正确,故选:12已知椭圆的左、右焦点分别为,其长轴长是短轴长的,若点是椭圆上不与,共线的任意点,且的周长为16,则下列结论正确的是A的方程为B的离心率为C双曲线的渐近线与椭圆在第一象限内的交点为D点是圆上一点,点,是的左、右顶点不与,重合),设直线,的斜率分别为,若,三点共线,则解:根据题意可得,解得,对于:椭圆的方程为,即正确;对于,即错误;对于:双曲线的渐近线为,联立,且,解得,双曲线的渐近线与椭圆在第一象限内的交点为,即正确;对于:由题意知,设,则,在圆上,且,三点共线,即,故选项正确故选:13一般
8、地,我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”则下列命题正确的有A若是“黄金椭圆”,则B若,且点在以,为焦点的“黄金椭圆”上,则的周长为C若是左焦点,分别是右顶点和上顶点,则D设焦点在轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为,“黄金椭圆”上动点(异于,设直线,的斜率分别为,则解:中没有指明焦点在轴还是轴,应该由两个值,所以不正确;中,由题意,则,所以,则的周长为,所以正确;中,由题意可得,要使椭圆为“黄金椭圆”,则,所以,所以,所以,因为,所以,所以,所以正确;中,由题意可得,设,则为,因为在椭圆上,所以,所以,因为黄金椭圆”上动点,所以,所以,而,所以,即,所以,可得正确故选:14已知椭圆的左、右两个焦点
9、分别为、,直线与交于、两点,轴,垂足为,直线与椭圆的另一个交点为,则下列结论正确的是A若,则的面积为B四边形,可能为矩形C直线的斜率为D若与、两点不重合,则直线和斜率之积为解:由椭圆,得,在中,由余弦定理可得,即,解得,故错误;若四边形为矩形,则,即,即,联立,得,得,即,得,该方程有实根,故正确;由,得,由对称性,不妨设,得,则,则,故正确;,所在直线方程为,与椭圆联立,可得,即得,故,则,故错误故选:三、 填空题15把半椭圆:和圆弧:合成的曲线称为“曲圆”,其中点是半椭圆的右焦点,分别是“曲圆”与轴的左、右交点,分别是“曲圆”与轴的上、下交点,已知,过点的直线与“曲圆”交于,两点,则半椭圆
10、方程为,的周长的取值范围是解:由,令,可得以及,再由椭圆的方程及题意可得,由,可得,由可得,所以,所以半椭圆及圆弧的方程分别为,所以,可得相当于椭圆的左焦点,的周长为,当从(不包括向运动时,当在轴右侧时,所以这时三角形的周长为8,当从向运动时,在第四象限,则,这时三角形的周长小于8,当运动到时,在处,不构成三角形,三角形的周长接近,由曲圆的对称性可得运动到轴下方时,与前面的一样,综上所述,的周长的取值范围为,故答案为:;,16在平面直角坐标系中,已知椭圆的焦距为,直线与椭圆交于,两点,且,过作交于点,点的坐标为,则椭圆的方程为解:由已知可得,所以,则直线的方程为:,即,代入椭圆方程消去整理可得
11、:,设,则,又由已知可得:,所以,则,所以,所以,又由可得,所以,即,解得或4(舍去),所以,所以椭圆的方程为,故答案为:17设,分别为椭圆的左、右焦点,为坐标原点,点是椭圆上的动点,过点作的角平分线的垂线,交于,交直线于,则点的横坐标的最小值为解:设,因为点在椭圆上,所以,又,所以,所以,分别过点,作轴于,轴于,则,所以,所以,即,有是的中点,所以,令,故,(当且仅当,即时,取等号)即点的横坐标的最小值为故答案为:18已知点,分别是椭圆的右顶点、下顶点、左焦点和右焦点,点,是椭圆上任意两点,若的面积最大值为,则的最大值为解:如图所示,直线的方程为:设与直线平行且与椭圆相切于点的直线方程为:、联立,化为:,令,解得:取与之间的距离的面积最大值解得设,则则,当且仅当时取等号的最大值为故答案为: