1、2.3.4 平面向量共线的坐标表示 必备知识自主学习 导思(1)两向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线的坐标条件能表示 为 吗?(2)如果两个非零向量共线,那么怎样通过其坐标判断它们是 同向还是反向呢?1122xyxy平面向量共线的坐标表示(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,a,b共线,当且仅当存在实数,使_.(2)如果用坐标表示,可写为(x1,y1)=_,当且仅当_=0时,向量a,b(b0)共线.a=b (x2,y2)x1y2-x2y1【思考】把x1y2-x2y1=0写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0可以吗?怎样记忆此公式的表达格式?提示:写成
2、x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不对的,这一公式可简记为:纵横交错积相减.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)向量(-1,3)与向量(-2,6)共线.()(2)向量(2,3)与向量(-4,-6)同向.()(3)如果x1y2-x2y1=0,那么向量a=(x1,y1)与向量b=(x2,y2)共线.()2.下列向量组中,不共线的向量组是()A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=13(,)243.(教材二次开发:习题改编)已知向量a=(2,1),b=(x
3、,-2),若ab,则a+b=_.【解析】因为ab,所以-4-x=0,即x=-4,所以a+b=(2,1)+(-4,-2)=(-2,-1).答案:(-2,-1)关键能力合作学习 类型一 向量共线的判定与证明(数学运算、直观想象)【题组训练】1.若向量a=(,1),b=(0,-2),则与a+2b共线的向量可以是()A.(,-1)B.(-1,-)C.(-,-1)D.(-1,)333332.下列各组向量是平行向量的有_.(填序号)a=b=(-2,-3);a=(0.5,4),b=(-8,64);a=(2,3),b=(3,4);a=(2,3),b=1 3()2 4，4(2).3，3.已知A(2,1),B(0
4、,4),C(1,3),D(5,-3),判断 是否共线?如果共线,它们 的方向是相同还是相反?AB CD与【解题策略】(1)向量共线的判定方法.(2)要判定两直线平行,先判定两向量平行,再说明两向量上的相关点不共线.【补偿训练】1.已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量 共线的单位向量是()A.(3,-4)B.C.(-6,8)D.AB3 4(,)5 543(,)552.已知点A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量 与 平行吗?直线AB与直 线CD平行吗?ABCD类型二 利用向量共线的坐标求参数(直观想象、数学运算)【题组训练】1.已知向量a=(2,3),b=(-
5、1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为()A.B.2 C.-D.-2 2.已知向量a=(x,2),b=(3,-1),若(a+b)(a-2b),则实数x的值为()A.-3 B.2 C.4 D.-6 12123.若向量a=(1,1),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b.(1)若u=3v,求x.(2)若uv,求x,并判断u与v是同向还是反向.【解题策略】(1)已知向量共线求参数问题中,参数一般设置在两个位置:一是在向量坐标中含有;二是相关向量用已知两向量的含参关系式表示.解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示形式求解.(2)利用向量平行的条件处理求值问题的思路.利用共线向量定理
6、a=b(b0)列方程组求解.利用向量平行的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.【补偿训练】1.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 为实数,(a+b)c,则=()A.B.C.1 D.2 14122.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-2b共线,则 等于()A.-B.C.-2 D.2 1212mn3.已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?类型三 向量共线的几何应用(数学运算、逻辑推理)角度1 由向量共线求交点的坐标 【典例】如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),
7、求AC和OB交点P的坐标.【变式探究】如图,已知A(4,5),B(1,2),C(12,1),D(11,6),求AC与BD的交点P的坐标.角度2 三点共线问题 【典例】已知A(1,-3),B ,且A,B,C三点共线,则C的坐标可以是()A.(-9,1)B.(9,-1)C.(9,1)D.(-9,-1)1(8,)2【思路导引】设出点C的坐标,因为A,B,C三点共线,写出向量 由向量共线的条件结合选项求解.AB,AC(BC)或，【解题策略】(1)三点共线问题的实质是向量共线问题,其解题思路是:先利用三点构造出两个向量,求出唯一确定的实数 使得两个向量共线,由于两向量过同一点,所以两向量所在的直线必重合
8、,即三点共线.(2)求解直线或线段的交点问题,常规方法为写出直线或线段对应的直线方程,建立方程组求解,而利用向量方法借助共线向量的充要条件可减少运算量,且思路简单明快.【题组训练】1.(2020南充高一检测)已知A(1,1),B(2,-4),C(x,-9),且 ,则x=()A.1 B.-1 C.3 D.-3 ABAC2.已知向量a=(-2,3),ba,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为_.3.(2020临沂高一检测)已知A(1,1),B(3,-1),C(a,b).(1)若A,B,C三点共线,求a与b之间的数量关系.(2)若 =2 ,求点C的坐标.ABAC【拓展延伸】若
9、A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则A,B,C三点共线(x2-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y2-y1)或(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)或(x3-x2)(y3-y1)=(x3-x1)(y3-y2).【拓展训练】证明上述命题的正确性.1.下列满足平行的一组向量是()A.a=(1,-4),b=(504,-2 016)B.a=(2,3),b=(4,-6)C.a=(1,2),b=(-1 008,2 016)D.a=(-1,4),b=(3,12)【解析】选A.a,b共线,当且仅当存在实数,使a=b(b0),经验证,只有A选项满足条件.课堂检测素养达标 2.(教材二次开发:习题改编)若A(2,-3),B(-2,5),C(6,y)三点共线,则y=()A.11 B.-11 C.6 D.-6 3.已知向量a=(x,1),b=(1,x)方向相同,则x=_.4.设a=b=且ab,则锐角=_.32()22，1(sin)3，5.已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=4及点A(1,1),M为圆C上的任意一点,点N在线段MA的 延长线上,且 ,求点N的轨迹方程.MA 2AN
