1、2019-2020学年度第二学期期末考试高二数学试题一、单项选择题：1. 已知集合Ax|y，By|y2x，则AB（ ）A. （1，+）B. 1，+）C. （0，+）D. （0，1【答案】B【解析】【分析】利用幂函数的定义域和指数函数的值域化简集合A和B，再利用交集的定义求解即可【详解】集合Ax|y=， By|y2x，则AB1，+）故选：B【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查指数函数和幂函数的性质，考查学生计算能力，属于基础题2. 命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出即可【详解】命题“”的否定是 “” 故选：C【点睛】本题考
2、查了全称命题与特称命题的否定关系，是基础题3. 已知函数，且a1）的图象过定点（m，n），则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的图象与性质，求出的图象所过定点，再计算的值【详解】解：函数，且中，令，得，所以，所以的图象过定点，所以，；所以故选：【点睛】本题考查了指数函数与指数运算问题，属于基础题4. 若复数z满足2z+3+2i2021（i为虚数单位），则z（ ）A. 1+2iB. 12iC. 1+2iD. 12i【答案】A【解析】【分析】设，表示出，再根据复数的乘方求出，再根据复数相等得到方程组，解得即可；【详解】解：设，则所以因为所以又，所以，所以，所以故选
3、：A【点睛】本题考查复数的运算以及复数相等的应用，属于基础题.5. 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从09中任选一个.某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，如果他记得密码的最后一位是偶数，则他不超过2次就按对的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】分别求第1次就按对的概率以及第2次按对的概率，再根据概率加法得结果.【详解】第1次就按对的概率为第2次按对的概率为因此不超过2次就按对的概率是故选：B【点睛】本题考查互斥事件概率加法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.6. 若展开式的常数项等于 ，则（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】C【解析
4、】【分析】先求出展开式中的系数，再乘以得展开式的常数项，解方程即可求解得答案.【详解】解：展开式的通项公式为：，所以当时，项的系数为：，的展开式无常数项，所以展开式的常数项为：，解得： 故选：C.【点睛】本题考查二项式的常数项的求解，是中档题.7. 已知点在幂函数yf（x）的图象上，设，cf（0.30.5），则a，b，c的大小关系是（ ）A. bcaB. cbaC. acbD. abc【答案】D【解析】【分析】由幂函数所过的点可得幂函数的解析式，从而得出幂函数的单调性，又比较指数式，对数式的大小关系，可得选项.【详解】设幂函数yf（x）为，因为点在幂函数yf（x）的图象上，所以，解得，所以，且
5、函数在上单调递减，又，且0.，所以 ，所以abc，故选：D.【点睛】本题考查指数式，对数式比较大小，并且根据函数的单调性比较函数值的大小关系，属于中档题.8. 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入号球槽的的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】小球落下要经过5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，并且相互独立，最终落入号球槽要经过两次向左，三次向右，根据独立重复事件
6、发生的概率公式，即可求解.【详解】解：设这个球落入号球槽为时间，落入号球槽要经过两次向左，三次向右，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查独立重复试验，属于基础题.二、多项选择题：9. 下列说法正确的是A. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好B. 回归直线至少经过点，中的一个C. 若，则D. 设随机变量，若，则【答案】ACD【解析】【分析】根据残差图中残差点的分布情况与模型的拟合效果可判断选项，线性回归直线一定经过样本中心点，线性回归直线不一定经过样本数据中的一个点，判断选项，根据公式计算出结果，判断选项，根据正态分布的性质，判断选项【详解】解：对于，在残差图中，残
7、差点比较均匀的分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好，选项正确；对于，线性回归直线不一定经过样本数据中的一个点，它是最能体现这组数据的变化趋势的直线，选项错误；对于，选项正确；对于，随机变量，若，则，选项正确；综上可得，正确的选项为，故选：【点睛】本题考查命题的真假判断，考查线性回归直线以及正态分布，考查学生的逻辑推理能力以及分析解决问题的能力，属于中档题10. 已知符号函数，则（ ）A. B. C. 是奇函数D. 函数的值域为（，1）【答案】BC【解析】【分析】对于A，判断出log23log30，根据函数解析式可得函数值；对于B，20，根据函数解析式可得函数值；对于C，讨
8、论当x0，x0和x0时的函数值，利用奇函数的定义判断即可；对于D，写出函数解析式画出图象可得函数的值域【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，log230而log30，则log23log30，故sgn（log23log3）1，A错误；对于B，20，则sgn（）1，B正确；对于C，sgn（x），当x0时，sgn（x）sgn（x）1，当x0时，sgn（x）sgn（x）1，当x0时，sgn（x）sgn（x）0，则对于任意的x，都有sgn（x）sgn（x），故sgn（x）是奇函数，C正确；对于D，函数y2xsgn（x），其图象大致如图，值域不是（，1），D错误；故选：BC【点睛】本题考查分段函数的性质
9、，涉及函数值的计算以及函数奇偶性的判断，属于基础题11. 下面结论正确的是（ ）A. 若3个班分别从5个风景点中选择一处游览，则不同的选法种数为35B. 11!+22!+nn!（n+1）!1（nN*）C. （n+1）（m+1）（nm，）D. （）【答案】BCD【解析】分析】利用乘法原理即可得出；利用，分别相加求和即可得出；利用组合数计算公式即可得出;由二项式定理可得：的展开式的奇数项与偶数项的二项式系数相等，即可判断出结论【详解】若3个班分别从5个风景点中选择一处游览，则不同的选法种数为，因此不正确；，！，因此正确；，因此正确；由二项式定理可得：的展开式的奇数项与偶数项的二项式系数相等，可得：
10、，因此正确故选：BCD【点睛】本题主要考查了二项式定理的展开式及其性质、排列组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平12. 设函数，则（ ）A. 的定义域为B. 若，的极小值点为1C. 若，则在上单调递增D. 若，则方程无实根【答案】ABD【解析】【分析】根据对数函数的性质以及分母不为0求出函数的定义域，分别代入，求出函数的导数，求出函数的单调区间，判断即可，结合，的结论判断即可【详解】由题意得，解得：且，故函数的定义域是，故正确；当时，令，则，在定义域递增，而（1），故，时，即，递减，时，即，递增，故时，的极小值点是1，故正确；时，令，递增，而（1），（e
11、），故存在，使得，即，故在递减，在，递增，故错误；由得：的极小值即的最小值为（1），由得：的最小值是，综合，时，的最小值是1，时，的最小值大于1，故若，则方程无实根，故正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查函数的单调性、极值、最值和零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、填空题：13. 已知条件：，：，若是的必要条件，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据是的必要条件，即可得出实数的取值范围【详解】解：条件，是必要条件，故答案为：【点睛】本题考查充分条件、必要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14. 已知，则的最小值是_.【答案】8【解析】【分析】
12、利用基本不等式中 “1”的用法，即可求出结果【详解】因为，所以， 当且仅当时，即时取等号.故答案为： 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题15. 若定义在R上的奇函数f(x)在(0，+)上单调递增，且f(1)0，则的解集为_.【答案】【解析】【分析】根据题意，由奇函数的性质分析可得以及在上单调递增，且，又由或或，解可得的取值范围，即可得答案【详解】根据题意，为定义在上的奇函数，则，所以当时，满足；又由函数在 上单调递增，且，则函数在上单调递增，且，所以或或， 解可得：或或或， 即的解集为； 故答案为：.【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的应用，属于基础题16. 科学研究表明，宇
13、宙射线在大气中能够产生放射性碳14.动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物组织中的碳14含量保持不变.死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14就按其确定的规律衰变.碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.碳14的残余量占原始含量的比值P与生物体死亡年数t满足Pat（a为正常数）.已知碳14的“半衰期”是5730年，即碳14大约每经过5730年就衰变为原来的一半.则a_；2020年1月10日，中国社会科学院考古研究所发布了“2019年中国考古新发现”六大考古项目，位于滕州市官桥镇大韩村东的“大韩墓地”成功入选.
14、考古人员发现墓地中某一尸体内碳14的残余量占原始含量的73%，则“大韩墓地”距测算之时约_年.（参考数据：lg731.86，lg20.3）【答案】 (1). (2). 2674【解析】【分析】（1）根据每经过5730年衰减为原来的一半，可得生物体内碳14的含量与死亡年数之间的函数关系式，进而解出即可；（2）利用碳14的残余量约占原始含量的，代入计算即可【详解】解：根据题意令，则有，解得；令，将代入得，即，则，解得，故答案为：；2674【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题四、解答题：17. 某中学高二甲、乙两个兴趣班进行了一次数学对抗赛，该对抗赛试题满分为15
15、0分，规定：成绩不小于135分为“优秀”，成绩小于135分为“非优秀”，对这两个班的所有学生的数学成绩统计后，得到如图条形图.（1）根据图中数据，完成如下的22列联表； 甲班乙班总计优秀非优秀总计（2）计算随机变量的值（精确到0.001），并由此判断：能否有90%的把握认为“成绩与班级有关”？参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：，其中【答案】（1）答案见解析；（2），没有90%的把握认为“成绩与班级有关”.【解析】【分析】（1）根据条形图中数据完成表格即可；（2）根据公式计算
16、出的值，然后可得答案.【详解】（1）根据条形图中的数据可得如下表格，甲班乙班总计优秀152035非优秀403070总计5550105（2）因为，所以没有90%的把握认为“成绩与班级有关”.【点睛】本题考查的是独立性检验，考查了学生的计算能力，属于基础题.18. 已知是定义在上的偶函数，且当时， .（1）求的解析式；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据函数的偶函数性质求解解析式即可；（2）根据偶函数性质和函数的单调性解不等式即可.【详解】解：（1）设，则， ， 是定义在上的偶函数， .的解析式为：；（2） 函数的对称轴为，开口向上， 当时，在区间单调递增，
17、又是定义在上的偶函数，解得：，故实数的取值范围为.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式，利用函数单调性与奇偶性解不等式，是中档题.19. 已知函数f（x）ax2（4a+1）x+4（aR）.（1）若关于x的不等式f（x）b的解集为x|1x2，求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式f（x）0.【答案】（1）-1,6；（2）答案见详解【解析】【分析】（1）由f（x）b解集为x|1x2结合韦达定理即可求解参数a，b的值；（2）原式可因式分解为，再分类讨论即可，对再细分为即可求解.【详解】（1）由f（x）b得，因为f（x）b的解集为x|1x2，故满足，解得；（2）原式因式分解可得，当时，解得；
18、当时，的解集为；当时，若，即，则的解集为；若，即时，解得；若，即时，解得.【点睛】本题考查由一元二次不等式的解求解参数，分类讨论求解一元二次不等式，属于中档题.20. 1933年7月11日，中华苏维埃共和国临时中央政府根据中央革命军事委员会6月30日建议，决定8月1日为中国工农红军成立纪念日，中华人民共和国成立后，将此纪念日改称为中国人民解放军建军节.为庆祝建军节，某校举行“强国强军”知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在，两名学生中间产生，该班委设计了一个测试方案：，两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生能正确回答其中的4个问题，而学生能正确回
19、答每个问题的概率均为，两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.（1）求恰好答对两个问题的概率；（2）求恰好答对两个问题的概率；（3）设答对题数为，答对题数为，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）学生，答案见解析.【解析】【分析】（1）利用古典概型、排列组合能求出恰好答对两个问题的概率（2）利用次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式能求出恰好答对两个问题的概率（3）设答对题数为，则的可能取值为1，2，3，分别相应的概率，能求出，答对题数为，则，分别求出，由，得到与平均水平相当，但比更稳定，选择学生【详解】解：（1），两名学生各自
20、从6个问题中随机抽取3个问题作答这6个问题中，学生能正确回答其中的4个问题，而学生能正确回答每个问题的概率均为，两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的恰好答对两个问题的概率为：（2）恰好答对两个问题的概率为.（3）所有可能的取值为1，2，3.；.所以.由题意，随机变量，所以.因为，可见，与的平均水平相当，但比的成绩更稳定.所以选择投票给学生.【点睛】本题考查概率、离散型随机事件的概率的分布列、数学期望、方差的求法及应用，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题21. 已知函数.（1）若xR，f（x）0，求实数a的取值范围；（2）用minm，n表示m，n中的较小者.设
21、h（x）minf（x），g（x）（x0），若h（x）有三个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）,（2）.【解析】【分析】（1）利用判别式解得结果可得答案；（2）当时，在上无零点；所以在上有三个零点，再转化为是的一个零点，且在上有两个零点，再根据二次函数知识列式可得结果.【详解】（1）根据题意知对任意实数恒成立，所以，解得.（2）当时，所以，所以在上无零点；所以在上有三个零点，当时，得，所以，所以是的一个零点；当时，所以，所以不是的一个零点；当时，由题意可知，是的一个零点，且在上有两个零点，所以，且，解得，综上所述，若有三个零点，则的取值范围是.【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，考
22、查了函数与方程思想，考查了由函数零点个数求参数范围，考查了分析推理能力，属于中档题.22. 已知函数，证明：(1)f(x)存在唯一的极值点，且为极小值点；(2)有且仅有两个实根，且两个实根互为相反数；(3) ().【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数确定函数的单调性，根据函数的单调性判断即可； （2）由（1）可知在递增，在递减，且，从而证明结论成立； （3）求出，令，根据函数的单调性证明即可【详解】证明：（1）的定义域是， 由，得， 令，解得：，令，解得：， 故在递减，在递增， 故， 当时，显然，当时， 故存在唯一的实数，使得， 综上，在递减，在递增， 因此，存在唯一的极值点，且是极小值点；（2）由(1)知：，且在递增， 在上存在唯一的实数根，且， 由得， 由（1）得，故， 又在递减，故在上存在唯一的实根，综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为相反数；（3）由， 可得，因此， 由（2）可得，对， ， 令，则， ， 当时，故在递增， 故时，故在递增， 时，即， 故， ，所以原不等式成立【点睛】本题考查了导数在函数的单调性，最值，零点问题中应用，考查利用导数证明不等式，考查转化思想，属于难题
