1、素养提升练(三)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2019驻马店期中)若集合Ax|x(x2)0，且ABA，则集合B可能是()A1 B0 C1 D2答案C解析A(0,2)，ABA，BA，选项中只有1A，故选C.2(2019成都外国语学校一模)已知复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z13i(i为虚数单位)，则()A.i BiCi D.i答案B解析复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z13i，z23i，i.
2、故选B.3(2019合肥一中模拟)若sin，那么cos的值为()A. B C. D答案D解析由题意可得cossinsinsin，故选D.4(2019全国卷)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A. B. C. D.答案A解析在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数n2664，恰有3个阳爻的基本事件数为C20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率P.故选A.5(2019江南十校模拟)已知边长为1的菱形ABCD中，BAD60，点E满足2，则的
3、值是()A B C D答案D解析由题意可得大致图象如下图所示，；，()|2|2，又|1，|cosBAD，1.故选D.6(2019珠海一模)若x，y满足约束条件目标函数zaxy取得最大值时的最优解仅为(1,3)，则a的取值范围为()A(1,1) B(0,1)C(，1)(1，) D(1,0答案A解析结合不等式组，绘制可行域，得到图中的阴影部分，目标函数转化为yaxz，当a0时，则a1，此时a的取值范围为(1,0，当a1，此时a的取值范围为(0,1)综上所述，a的取值范围为(1,1)，故选A.7(2019河南九狮联盟联考)下面框图的功能是求满足135n111111的最小正整数n，则空白处应填入的是(
4、)A输出i2 B输出iC输出i1 D输出i2答案D解析根据程序框图得到的循环是M1，i3；M13，i5；M135，i7；M1357，i9；M135(n2)，in之后进入判断，不符合题意时输出，输出的是i2.故选D.8(2019宜宾诊断)已知直线l1：3xy60与圆心为M(0,1)，半径为的圆相交于A，B两点，另一直线l2：2kx2y3k30与圆M交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最大值为()A5 B10C5(1) D5(1)答案A解析以M(0,1)为圆心，半径为的圆的方程为x2(y1)25，联立解得A(2,0)，B(1,3)，AB的中点为，而直线l2：2kx2y3k30恒过定点，要使四边形
5、的面积最大，只需直线l2过圆心即可，即CD为直径，此时AB垂直CD，|AB|，四边形ACBD面积的最大值为S|AB|CD|25.故选A.9(2019漳州一模)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有()A.(878)人 B.(898)人C8(878)人 D8(8984)人答案D解析由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也是8，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有8848
6、586878888(8984)，故选D.10(2019深圳调研)已知A，B，C为球O的球面上的三个定点，ABC60，AC2，P为球O的球面上的动点，记三棱锥PABC的体积为V1，三棱锥OABC的体积为V2，若的最大值为3，则球O的表面积为()A. B. C. D6答案B解析由题意，设ABC的外接圆圆心为O，其半径为r，球O的半径为R，且|OO|d，依题意可知max3，即R2d，显然R2d2r2，故Rr，又由2r，故r，得球O的表面积为4R2r2，故选B.11(2019西工大附中模拟)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内
7、角为30，则C的离心率为()A. B. C. D.答案C解析F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|PF2|6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c，|PF1|4a，|PF2|2a，ac，|PF2|1f(x)若xR，不等式exf(ex)exaxaxf(ax)0恒成立，则正整数a的最大值为()A1 B2 C3 D4答案B解析xf(x)1f(x)，xf(x)1f(x)0，令F(x)xf(x)1，则F(x)xf(x)f(x)10，又f(x)是在R上的偶函数，F(x)是在R上的奇函数，F(x)是在R上的单调递增函数，又exf
8、(ex)axf(ax)exax，可化为exf(ex)1axf(ax)1，即F(ex)F(ax)，又F(x)是在R上的单调递增函数，exax0恒成立，令g(x)exax，则g(x)exa，a0，g(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，g(x)minaaln a0，则1ln a0，0a0，则x0)，则f(x)2x3，所以f(1)235，且f(1)4，由直线的点斜式方程可知y45(x1)5x5，所以5xy10.16(2019烟台适应性测试)已知抛物线C：x24y的焦点为F，M是抛物线C上一点，若FM的延长线交x轴的正半轴于点N，交抛物线C的准线l于点T，且，则|NT|_.答案
9、3解析画出图形如下图所示由题意得抛物线的焦点F(0,1)，准线为y1.设抛物线的准线与y轴的交点为E，过M作准线的垂线，垂足为Q，交x轴于点P.由题意得NPMNOF，又，即M为FN的中点，|MP|OF|，|MQ|1，|FM|MN|.又，即，解得|TN|3.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：60分17(本小题满分12分)(2019淄博模拟)已知在等比数列an中，a12，且a1，a2，a32成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：bn2log2an1，求数列
10、bn的前n项和Sn.解(1)设等比数列an的公比为q，a1，a2，a32成等差数列，2a2a1(a32)2(a32)a3，q2ana1qn12n(nN*)(2)bn2log2an1n2log22n1n2n1，Sn135(2n1)n2n1(nN*)18(本小题满分12分)(2019广州二模)科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如表：x(年龄/岁)26273941495356586061y(脂肪含量/%)14.517.821.225.926.329.631.433.535.234.6根据上表的数据得到如下的散点图(1)根据上表中的样本数据及其
11、散点图：求；计算样本相关系数(精确到0.01)，并刻画它们的相关程度；(2)若y关于x的线性回归方程为1.56x，求的值(精确到0.01)，并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量参考数据：27，xiyi13527.8，x23638，y7759.6，6.56，54.18.参考公式：相关系数r，回归方程x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.解(1)根据上表中的样本数据及其散点图知，47.回归系数r .因为6.56，54.18，所以r0.98.由样本相关系数r0.98，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强(2)因为回归方程为1.56x，即1.56，所以0.54.所以y关于x的线性回归
12、方程为0.54x1.56，将x50代入线性回归方程得0.54501.5628.56，所以根据回归方程预测年龄为50岁时人的脂肪含量为28.56%.19(本小题满分12分)(2019咸阳模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，ABC120，PAPC，PBPD，ACBDO.(1)求证：PO平面ABCD；(2)若PA与平面ABCD所成的角为30，求二面角BPCD 的余弦值解(1)证明：四边形ABCD是菱形，O为AC，BD的中点，又PAPC，PBPD，POAC，POBD，ACBDO，且AC，BD平面ABCD，PO平面ABCD.(2)设菱形ABCD的边长为2t(t0)，ABC120，BAD
13、60，OAt.由(1)知PO平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为PAO30，得到POt，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，t,0)，C(t,0,0)，P(0,0，t)，D(0，t,0)，得到(0，t，t)，(t,0，t)设平面PBC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面PCD的法向量n2(x2，y2，z2)则即令x11，则y1z1，得到n1(1，)同理可得n2(1，)，|cosn1，n2|.二面角BPCD为钝二面角，则余弦值为.20(本小题满分12分)(2019广州六校联考)已知ABC中，AB2，且sinA(12cosB)sinB(12cosA)0.以边AB的中垂线为x轴，以AB所
14、在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(1)求动点C的轨迹E的方程；(2)已知定点P(0,4)，不垂直于AB的动直线l与轨迹E相交于M，N两点，若直线MP，NP关于y轴对称，求PMN面积的取值范围解(1)由sinA(12cosB)sinB(12cosA)0得，sinAsinB2sinC，由正弦定理|CA|CB|2|AB|4|AB|，所以点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(除y轴上的点)，其中a2，c1，则b，故轨迹E的方程为1(x0)(2)由题可知，P(0,4)，直线l的斜率存在，设l的方程为ykxm(mk0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线l的方程代入轨迹E的方程得，(3k24)x26
15、kmx3m2120.由0得3k24m2，且x1x2，x1x2，因为直线MP，NP关于y轴对称，所以kMPkNP0，即0.化简得2kx1x2(m4)(x1x2)0，所以2k(m4)0，得m1，那么直线l过点B(0,1)，x1x2，x1x2，所以PMN的面积S|BP|x1x2|18，设k21t，则t1，S18，显然S在t(1，)上单调递减，所以S.即PMN面积的取值范围为.21(本小题满分12分)(2019济南模拟)已知函数f(x)xln xx2(a1)x，其导函数f(x)的最大值为0.(1)求实数a的值；(2)若f(x1)f(x2)1(x1x2)，证明：x1x22.解(1)由题意，函数f(x)的
16、定义域为(0，)，其导函数f(x)ln xa(x1)，记h(x)f(x)，则h(x).当a0时，h(x)0恒成立，所以h(x)在(0，)上单调递增，且h(1)0.所以x(1，)，有h(x)f(x)0，故a0时不成立；当a0时，若x，则h(x)0；若x，则h(x)0.所以h(x)在上单调递增，在上单调递减所以h(x)maxhln aa10.令g(a)ln aa1，则g(a)1.当0a1时，g(a)1时，g(a)0.所以g(a)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增所以g(a)g(1)0，故a1.(2)证明：当a1时，f(x)xln xx2，则f(x)1ln xx.由(1)知f(x)1ln
17、xx0恒成立，所以f(x)xln xx2在(0，)上单调递减，且f(1)，f(x1)f(x2)12f(1)，不妨设0x1x2，则0x112，只需证x22x1，因为f(x)在(0，)上单调递减，则只需证f(x2)f(2x1)，又因为f(x1)f(x2)1，则只需证1f(x1)1.令F(x)f(x)f(2x)(其中x(0,1)，且F(1)1.所以欲证f(2x1)f(x1)1，只需证F(x)F(1)，x(0,1)，由F(x)f(x)f(2x)1ln xx1ln (2x)2x，整理得F(x)ln xln (2x)2(1x)，x(0,1)，F(x)0，x(0,1)，所以F(x)ln xln (2x)2(
18、1x)在区间(0,1)上单调递增，所以x(0,1)，F(x)ln xln (2x)2(1x)F(1)，x(0,1)，故x1x22.(二)选考题：10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程(2019全国卷)在极坐标系中，O为极点，点M(0，0)(00)在曲线C：4sin上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当0时，求0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程解(1)因为M(0，0)在曲线C上，当0时，04sin2.由已知得|OP|OA|cos2.设Q(，)为l上除P外的任意一点在RtOPQ中，cos|OP|2.经检验，点P在曲线cos2上，所以，l的极坐标方程为cos2.(2)设P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos4cos，即4cos.因为P在线段OM上，且APOM，所以的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos，.23(本小题满分10分)选修45：不等式选讲(2019漳州质检)已知函数f(x)|2x|4x|.(1)关于x的不等式f(x)a23a恒成立，求实数a的取值范围；(2)若f(m)f(n)4，且mm4，故mn8.
