1、第2讲曲线与方程、抛物线 2019考向导航考点扫描三年考情考向预测201920182017抛物线的综合问题2016年江苏高考第22题考了抛物线，近八年只考查两次，多以空间向量与离散型随机变量的分布列交替考查，但复习时仍要关注，试题背景主要是对抛物线的切线、定点、定值、范围等方面的探求1求曲线的方程是解析几何的两大基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转变为寻求变量间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹方程时的作用，只要动点满足已知曲线的定义时，就可以直接得出其方程；轨迹方程问题也是高考的一个重点2曲线的
2、方程的应用，如参数的选取，相关点的变化规律及限制条件等；求轨迹方程的基本步骤，注意纯粹性及完备性3平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F为抛物线的焦点，定直线l为抛物线的准线定点F不在定直线l上4求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程因为抛物线标准方程有四种形式，若能确定抛物线的形式，需一个条件就能解出待定系数p，因此要做到“先定位，再定值”5抛物线的简单几何性质方程设抛物线y22px(p0)性质焦点范围对称性顶点离心率准线通径Fx0关于x轴对称原点e1x2p曲线与方程典型例题 设圆C：(x1)2y21，过原点O
3、作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程【解】如图所示法一：直接法设OQ为过O点的一条弦，P(x，y)为其中点，则CPOQ因为OC的中点为M，故|MP|OC|，得方程y2，由圆的范围知0x1法二：定义法因为OPC90，所以动点P在以点M为圆心，OC为直径的圆上，由圆的方程得y2(0x1)法三：代入法设Q(x1，y1)，则又因为(x11)2y1，所以(2x1)2(2y)21(0x1)即y2(0x1)法四：参数法设动弦OQ的方程为ykx，代入圆的方程得(x1)2k2x21即(1k2)x22x0，所以x，ykx，消去k即可得到(2x1)2(2y)21(0x1)，即y2(00)(1)若直线l过抛物线C的
4、焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q求证：线段PQ的中点坐标为(2p，p)；求p的取值范围【解】(1)抛物线C：y22px(p0)的焦点为，由点在直线l：xy20上，得020，即p4所以抛物线C的方程为y28x(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为1，则可设其方程为yxb证明：由消去x得y22py2pb0(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1y2，从而(2p)24(2pb)0，化简得p2b0方程(*)的两根为y1，2p ，从而y0p
5、因为M(x0，y0)在直线l上，所以x02p因此，线段PQ的中点坐标为(2p，p)因为M(2p，p)在直线yxb上，所以p(2p)b，即b22p由知p2b0，于是p2(22p)0，所以p0，解得k0)上一点P到准线的距离与到原点O的距离相等，抛物线的焦点为F(1)求抛物线的方程；(2)若A为抛物线上一点(异于原点O)，点A处的切线交x轴于点B，过A作准线的垂线，垂足为点E，试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论解 (1)由题意知点P到原点的距离为PO，由抛物线的定义知，点P到准线的距离等于PF，所以POPF，即点P在线段OF的中垂线上，所以，p3，所以抛物线的方程为y26x(2)如图，由抛
6、物线的对称性，不妨设点A在x轴的上方，所以点A处切线的斜率为，所以点A处切线的方程为yy0，令上式中y0，得xy，所以点B的坐标为，又E，F，所以，所以，所以FABE，又AEFB，故四边形AEBF为平行四边形再由抛物线的定义，得AFAE，所以平行四边形AEBF为菱形4在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由解 (1)由题设可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a)又y，故y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0故所求切线方程为xya0和xya0(2)存在符合题意的点证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2将ykxa代入C的方程，得x24kx4a0故x1x24k，x1x24a从而k1k2当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意
