1、第3讲基本初等函数、函数与方程及函数应用 2019考向导航考点扫描三年考情考向预测2019201820171基本初等函数的图象与性质第5题江苏高考对初等函数的考查主要载体是二次函数、指数函数、对数函数及简单的复合函数，多为中档题；考查函数性质的简单综合运用，此类试题对恒等变形、等价转化的能力有一定的要求，函数与方程、分类讨论、数形结合的数学思想通常会有所体现函数实际应用题也是高考热点，常以求最值为问题归宿2函数与方程第14题第14题3函数模型第17题1必记的概念与定理指数函数、对数函数和幂函数的图象及性质(1)指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)的图象和性质，分0a
2、1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质(2)幂函数yx的图象与性质由于的值不同而比较复杂，当0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；1时，曲线下凸；01时，曲线上凸；0时，曲线下凸(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0且a1，b0且b1，M0，N0)提醒：logaMlogaNloga(MN)，logaMlogaNloga(MN)(2)与二次函数有关的不等式恒成立问题ax2bxc0，a0恒成立的充要条件是ax2bxc0，b0，ab8，所以b所以log2alog2(2b)log2alog2
3、log2a(4log2a)(log2a2)24，当且仅当log2a2，即a4时，log2alog2(2b)取得最大值4【答案】(1)42(2)4指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围对点训练1(2019南通市高三模拟)已知函数f(x)loga(xb)(a0且a1，bR)的图象如图所示，则ab的值是_解析 将(3，0)，(0，2)分别代入解析式得loga(3b)0，logab2，解得a，b4，从而ab答案 2使log2(x)x1成立的x的取值范围是_解析 作出函数ylog2(x)及yx1的图象其中ylog2(x)及ylo
4、g2x的图象关于y轴对称，观察图象(如图所示)知，1x0若在区间(0，9上，关于x的方程f(x)g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是_【解析】(1)由f(x)f(x)，得f(x)的图象关于y轴对称由f(x)f(2x)，得f(x)的图象关于直线x1对称当x0，1时，f(x)x3，所以f(x)在1，2上的图象如图令g(x)|cos x|f(x)0，得|cos x|f(x)，两函数yf(x)与y|cos x|的图象在上的交点有5个(2)当x(0，2时，令y，则(x1)2y21，y0，即f(x)的图象是以(1，0)为圆心、1为半径的半圆，利用f(x)是奇函数，且周期为4，画出函数f(x)在(0
5、，9上的图象，再在同一坐标系中作出函数g(x)(x(0，9)的图象，如图，关于x的方程f(x)g(x)在(0，9上有8个不同的实数根，即两个函数的图象有8个不同的交点，数形结合知g(x)(x(0，1)与f(x)(x(0，1)的图象有2个不同的交点时满足题意，当直线yk(x2)经过点(1，1)时，k，当直线yk(x2)与半圆(x1)2y21(y0)相切时，1，k或k(舍去)，所以k的取值范围是【答案】(1)5(2)判断函数零点个数的方法(1)解方程法：若对应方程f(x)0可解时，通过解方程，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(
6、a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数对点训练3(2019南京四校高三联考)已知周期为4的函数f(x)，则方程3f(x)x的根的个数为_解析 作出函数yf(x)的图象及直线y如图所示，则两个图象的交点个数为3，即方程的根的个数为3答案 34(2019苏州市高三调研)已知函数f(x)axxb的零点x0(n，n1)(nZ)，其中常数a、b满足2a3，3b2，则n_解析 f(x)axxb的零点x0就是方程axxb的
7、根设y1ax，y2xb，故x0就是两函数交点的横坐标，由2a3，3b2，得a1，0b1可知f(x)为增函数当x1时，y1log32y21b1log32，当x0时，y1a01y2b，所以1x00)，则年总产值为4k800(4sin cos cos )3k1 600(cos sin cos )8 000k(sin cos cos )，设f()sin cos cos ，则f()cos2sin2sin (2sin2sin 1)(2sin 1)(sin 1)令f()0，得，当时，f()0，所以f()为增函数；当时，f()0，所以f()为减函数，因此，当时，f()取到最大值应用函数模型解决实际问题的一般程
8、序是：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题解答这类问题的关键是建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答对点训练5(2019江苏省四星级学校联考)某品牌开发了一种新产品，欲在沿海城市寻找一个工厂代理加工生产该新产品，由于该新产品的专利保护要求比较高，某种核心配件只能从总公司购买并且由总公司统一配送，该厂每天需要此核心配件200个，配件的价格为18元/个，每次购买配件需支付运费236元每次购买来的配件还需支付保密费用(若n天购买一次，则需要支付n天的保密费用)，其标准如下：7天以内(含7天)，均按
9、10元/天支付；7天以外，根据当天还未生产时剩余配件的数量，以每天003元/个支付(1)当9天购买一次配件时，求该厂用于配件的保密费用p(元)的值；(2)设该厂x天购买一次配件，求该厂在这x天中用于配件的总费用y(元)关于x的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配件才能使平均每天支付的费用最少解 (1)当9天购买一次配件时，该厂用于配件的保密费用p70003200(21)88(元)(2)当0x7时，y18200x10x236370x236当x7时，y18200x23670200003(x7)(x8)213x2321x432，所以y设该厂x天购买一次配件时，平均每天支付的费用为f(x)元，则f(x
10、)当0x7时，f(x)370，f(x)是(0，7上的减函数，所以当x7时，f(x)有最小值当x7时，f(x)3x321332132321393，当且仅当x，即x12时取等号又393，所以当该厂12天购买一次配件时才能使平均每天支付的费用最少1已知点M在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为_解析 设幂函数的解析式为f(x)x，则3，得2故f(x)x2答案 f(x)x22(2019常州模拟) 函数y的值域为_解析 由指数函数性质知值域为(0，)答案 (0，)3函数y|x|2|x|12两个零点的差的绝对值是_解析 令|x|2|x|120，得(|x|4)(|x|3)0，即|x|4，所以两个零点
11、的差的绝对值是|4(4)|8答案 84(2019绵阳期中)若a306，blog302，c063，则a，b，c的大小关系为_解析 3061，log3020，00631，所以acb答案 acb 5(2019山西大学附中期中)有四个函数：yx；y21x；yln(x1)；y|1x|其中在区间(0，1)内单调递减的函数的序号是_解析 分析题意可知显然不满足题意，画出中的函数图象(图略)，易知中的函数满足在(0，1)内单调递减答案 6设2a5bm，且2，则m_解析 因为2a5bm，所以alog2m，blog5m，所以logm2logm5logm102所以m答案 7(2019南京、盐城高三模拟)已知函数f(
12、x)kx(e为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k的取值范围是_解析 由题意，知x0，函数f(x)有且只有一个零点等价于方程kx0只有一个根，即方程k只有一个根，设g(x)，则函数g(x)的图象与直线yk只有一个交点因为g(x)，所以函数g(x)在(，0)上为增函数，在(0，2)上为减函数，在(2，)上为增函数，g(x)的极小值g(2)，且x0时，g(x)，x时，g(x)0，x时，g(x)，则g(x)的图象如图所示，由图易知0k0且a1，函数ya2x2ax1在1，1上的最大值是14，则a的值为_解析 令tax(a0且a1)，则原函数化为y(t1)22(t0)当0a0，所以a当a1时，x1
13、，1，tax，此时f(t)在上是增函数所以f(t)maxf(a)(a1)2214，解得a3(a5舍去)综上得a或3答案 或310(2019江苏省高考名校联考信息卷(五)已知函数f(x)(xR)，g(x)满足g(2x)g(x)0若函数f(x1)与函数g(x)的图象恰好有2 019个交点，则这2 019个交点的横坐标之和为_解析 由于f(x)f(x)0，所以函数f(x)为奇函数，从而函数f(x1)的图象关于点(1，0)对称由函数g(x)满足g(2x)g(x)0，可知g(x)的图象也关于点(1，0)对称，所以函数F(x)g(x)f(x1)的图象关于点(1，0)对称，从而这2 019个零点关于点(1，
14、0)对称，由于F(1)g(1)f(0)0，所以x1是F(x)的一个零点，其余2 018个零点首尾结合，两两关于点(1，0)对称，和为2 018，故所有这些零点之和为2 019，即函数f(x1)与函数g(x)的图象的2 019个交点的横坐标之和为2 019答案 2 01911已知函数f(x)x2，g(x)x1(1)若存在xR使f(x)bg(x)，求实数b的取值范围；(2)设F(x)f(x)mg(x)1mm2，且|F(x)|在0，1上单调递增，求实数m的取值范围解 (1)xR，f(x)bg(x)xR，x2bxb0b4故b的取值范围为(，0)(4，)(2)F(x)x2mx1m2，m24(1m2)5m
15、24当0，即m时，则必需m0当0，即m时，设方程F(x)0的根为x1，x2(x1x2)若1，则x10，即m2；若0，则x20，即1m，所以4x2，即0x，所以44x4时，由816，得x6，所以此时48时，y8816综上，y当4x8时，y8(x3)216，当且仅当x3时等号成立又1616，所以接下来的4分钟能够有效去污14设函数fn(x)xnbxc(nN*，b，cR)(1)设n2，b1，c1，证明：fn(x)在区间内存在唯一零点；(2)设n2，若对任意x1，x21，1，有|f2(x1)f2(x2)|4，求b的取值范围解 (1)证明：b1，c1，n2时，fn(x)xnx1因为fnfn(1)10，所以fn(x)在上是单调递增的，所以fn(x)在内存在唯一零点(2)当n2时，f2(x)x2bxc对任意x1，x21，1都有|f2(x1)f2(x2)|4等价于f2(x)在1，1上的最大值与最小值之差M4据此分类讨论如下：当1，即|b|2时，M|f2(1)f2(1)|2|b|4，与题设矛盾当10，即0b2时，Mf2(1)f24恒成立当01，即2b0时，Mf2(1)f24恒成立综上可知，2b2
