1、第一部分高考层级专题突破层级二7个能力专题师生共研专题四立体几何第三讲立体几何中的向量方法课时跟踪检测(十二)立体几何中的向量方法A卷1(2019揭阳一模)如图，在四边形ABED中，ABDE，ABBE，点C在AB上，且ABCD，ACBCCD2，现将ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE与平面PBC所成的角为45.(1)求证：平面PBC平面DEBC；(2)求二面角DPEB的余弦值解：(1)证明：ABCD，ABBE，CDEB.ACCD，PCCD，EBPC，且PCBCC，EB平面PBC.又EB平面DEBC，平面PBC平面DEBC.(2)由(1)知EB平面PBC，EBPB，由PE与平面PBC所
2、成的角为45得EPB45，PBE为等腰直角三角形，PBEB.ABDE，结合CDEB得BECD2，PB2，故PBC为等边三角形取BC的中点O，连接PO，POBC，PO平面EBCD，以O为坐标原点，过点O与BE平行的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图，则B(0,1,0)，E(2,1,0)，D(2，1,0)，P(0,0，)，从而(0,2,0)，(2,0,0)，(2,1，)，设平面PDE的一个法向量为m(x，y，z)，平面PEB的一个法向量为n(a，b，c)，则由得令z2，得m(，0，2)，由得令c1，得n(0，1)，设二面角DPEB的大小为，则cos ，即二
3、面角DPEB的余弦值为.2(2019汉阳区校级模拟)如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FAFC，且DABDBF60.(1)求证：AC平面BDEF；(2)求直线AD与平面ABF所成角的正弦值解：(1)证明：设AC与BD相交于点O，连接FO，四边形ABCD为菱形，ACBD，且O为AC的中点，FAFC，ACFO，又FOBDO，AC平面BDEF.(2)连接DF，四边形BDEF为菱形，且DBF60，DBF为等边三角形O为BD中点，FOBD，又由(1)得ACFO，FO平面ABCD.OA，OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示，设AB2，四边形ABCD为菱形，DAB60，BD2，AC
4、2.DBF为等边三角形，OF.A(，0,0)，B(0,1,0)，D(0，1,0)，F(0,0，)，(，1,0)，(，0，)，(，1,0)设平面ABF的法向量为n(x，y，z)，则取x1，得n(1，1)设直线AD与平面ABF所成角为，则直线AD与平面ABF所成角的正弦值为sin |cos，n|.3(2019全国卷)图1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求图2中的二面角BCGA的大小 图1 图2解：(1
5、)证明：由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面由已知得ABBE，ABBC，且BEBCB，所以AB平面BCGE.又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.(2)作EHBC，垂足为H.因为EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，平面BCGE平面ABCBC，所以EH平面ABC.由已知，菱形BCGE的边长为2，EBC60，可求得BH1，EH.以H为坐标原点，的方向为x轴的正方向，平行于方向为y轴正方向，方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz，则A(1,1,0)，C(1,0,0)，G(2,0，)，B(1，0,0)，所以(
6、1,0，)，(2，1,0)，(0,1,0)设平面ACGD的法向量为n(x，y，z)，则即所以可取n(3,6，)又平面BCGE的法向量可取m(0,1,0)，所以cosn，m.因此二面角BCGA的大小为30.B卷1(2019郑州二模)如图，等腰直角ABC中，ABC90，平面ABEF平面ABC,2AFABBE，FAB60，AFBE.(1)求证：BCBF；(2)求二面角FCEB的正弦值解：(1)证明：在等腰直角ABC中，B90，BCAB.平面ABEF平面ABC，平面ABEF平面ABCAB，BC平面ABC，BC平面ABEF.BF平面ABEF，BCBF.(2)由(1)知BC平面ABEF，故以B为原点，方向
7、为x轴正方向，方向为y轴正方向，过B点作垂直于平面ABC的垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，设2AFABBE2，FAB60，AFBE，B(0,0,0)，C(0,2,0)，F，E(1,0，)，(1,2，)，(0,2,0)，设平面CEF的一个法向量n(x，y，z)，则即令x，得n(，2，5)，设平面BCE的一个法向量m(a，b，c)，则即取a，得m(，0,1)，设二面角FCEB的平面角为.则|cos |，sin ，二面角FCEB的正弦值为.2(2019江门一模)如图1，平面五边形ABCDE中，BBADECDE90，CDDEAE，将ADE沿AD折起，得到如图2的四棱锥PABCD.(1
8、)证明：PCAD；(2)若平面PAD平面ABCD，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值解：(1)证明：取AD的中点F，连接PF，CF.由已知，图1中CDEA是正方形，因为正方形的对角线互相垂直平分，所以PFAD(即EFAD)、CFAD，因为PFCFF，所以AD平面PCF，PC平面PCF，所以PCAD.(2)由(1)和平面PAD平面ABCD知，PF平面ABCD.解法一：从而PF，CF，AD两两互相垂直，以F为原点，以、为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(1,0,0)，则(1,0,1)，(1,1,0)，设n(a，b，c)是平面PCD
9、的一个法向量，则取a1，则bc1，故n(1，1，1)，(1,1，1)，直线PB与平面PCD所成角的正弦值为|cos，n|.解法二：不妨设CD，则ABBC1，连接BD，三棱锥PBCD的体积VPBCDShBCABPF，因为PC，所以PCD是正三角形，SPCDPC2.设点B到平面PCD的距离为h1，则h1，解得h1，PB.故直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.3(2019凉山州模拟)设矩形ABCD中，AD4，AB2，点F，E分别是BC，CD的中点，如图1.现沿AE将AED折起，使点D至点M的位置，且MEMF，如图2.(1)证明：AF平面MEF；(2)求二面角MAEF的大小解：(1)证明：由题设知A
10、MME，又MEMF，AMMFM，ME平面AMF，AF平面AMF，AFME，在矩形ABCD中，AD4，AB2，点F，E分别是BC，CD的中点，AE242218，EF22226，AF282212，AE2EF2AF2，AFEF.MEEFE，AF平面MEF.(2)AF平面ABCE.由(1)知平面MEF平面AFE，且AFE90，以F为原点，FE为x轴，FA为y轴，过F作平面ABCE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，在RtMFE中，过M作MNEF于N，ME，EF，MF2，MN，FNMFcos MFE2，A(0,2，0)，E(，0,0)，F(0,0,0)，M，0，(，2，0)，且平面AFE的一个法向量n(0,0,1)，设平面AME的一个法向量为m(x，y，z)，则即令x1，得m，cosm，n，m，n.二面角MAEF的大小为.
