1、9.4 两个平面平行知识梳理1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行.2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行.点击双基1.（2005年春季北京，3）下列命题中，正确的是A.经过不同的三点有且只有一个平面B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D.垂直于同一个平面的两个平面平行答案：C2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面、，对于下面四种情况：b，b，.其中可能的情况有A.1种 B.2种 C.3种 D.4种解析：都有可能，不可能，否则有ba与已知
2、矛盾.答案：C3.、是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定的是A.、都平行于直线a、bB.内有三个不共线点到的距离相等C.a、b是内两条直线，且a，bD.a、b是两条异面直线且a，b，a，b解析：A错，若ab，则不能断定；B错，若A、B、C三点不在的同一侧，则不能断定；C错，若ab，则不能断定；D正确.答案：D4.a、b、为三条不重合的直线，、为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：其中正确的命题是_.（将正确的序号都填上）答案：典例剖析【例1】 设平面平面，AB、CD是两条异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C，B、D，求证：MN平面.剖析：因为
3、AB与CD是异面直线，故MN与AC、BD不平行.在平面、中不易找到与MN平行的直线，所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻，于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行，即需找一个过MN且与平行的平面.根据M、N是异面直线上的中点这一特征，连结BC，则此时AB、BC共面，即BC为沟通AB、CD的桥梁，再取BC的中点E，连结ME、NE，用中位线知识可证得.证明：连结BC、AD，取BC的中点E，连结ME、NE，则ME是BAC的中位线，故MEAC，ME，ME.同理可证，NEBD.又，设CB与DC确定的平面BCD与平面交于直线CF，则CFBD，NECF.而NE平面，CF，NE.又MENE=E，平面M
4、NE，而MN平面MNE，MN平面.【例2】 如下图，在空间六边形（即六个顶点没有任何五点共面）ABCC1D1A1中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于a，并且AA1CC1.求证：平面A1BC1平面ACD1.证法一：作正方形BCC1B1和CC1D1D，并连结A1B1和AD.AA1CC1BB1DD1，且AA1AB，AA1A1D1，ABB1A1和AA1D1D都是正方形，且ACC1A1是平行四边形.故它们的对应边平行且相等.ABCA1B1C1，A1B1B1C1.同理，ADCD.BB1AB，BB1BC，BB1平面ABC.同理，DD1平面ACD.BB1DD1，BB1平面ACD.A、B、C、D四点共面.ABC
5、D为正方形.同理，A1B1C1D1也是正方形.故ABCDA1B1C1D1是正方体.易知A1C1AC，A1C1平面ACD1.同理，BC1平面ACD1，平面A1BC1平面ACD1.证法二：证ABCDA1B1C1D1是正方体，同上.连结B1D、B1D1，则B1D1是B1D在底面ABCD上的射影，由三垂线定理知B1DA1C1，同理可证B1DBA1，B1D平面A1BC1.同理可证，B1D平面ACD1，平面A1BC1平面ACD1.思考讨论证明面面平行的常用方法：利用面面平行的判定定理；证明两个平面垂直于同一条直线.【例3】 如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1
6、D1的中点，求证：（1）APMN；（2）平面MNP平面A1BD.证明：（1）连结BC1、B1C，则B1CBC1，BC1是AP在面BB1C1C上的射影.APB1C.又B1CMN，APMN.（2）连结B1D1，P、N分别是D1C1、B1C1的中点，PNB1D1.又B1D1BD，PNBD.又PN不在平面A1BD上，PN平面A1BD.同理，MN平面A1BD.又PNMN=N，平面PMN平面A1BD.评述：将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或线.由于M、N、P都为中点，故添加B1C、BC1作为联系的桥梁.闯关训练夯实基础1.（2003年上海）在下列条件中，
7、可判断平面与平行的是A.、都垂直于平面B.内存在不共线的三点到的距离相等C.l、m是内两条直线，且l，mD.l、m是两条异面直线，且l，m，l，m答案：D2.设平面，A、C，B、D，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=4，则CS=_.解析：如图（1），由可知BDAC，=，即=，SC=68.如图（2），由知ACBD，=，即=.SC=.答案：68或3.如图甲，在透明塑料制成的长方体ABCDA1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：水的部分始终呈棱柱状；水面四边形EFGH的面积不改变；棱A1D1始终与水面EFGH平
8、行；当容器倾斜如图乙时，EFBF是定值.其中正确命题的序号是_.解析：对于命题，由于BC固定，所以在倾斜的过程中，始终有ADEHFGBC，且平面AEFB平面DHGC，故水的部分始终呈棱柱状（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且BC为棱柱的一条侧棱，命题正确.对于命题，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等；当水是三棱柱时，则水面面积可能变大，也可能变小，故不正确.是正确的（请给出证明）.是正确的，由水的体积的不变性可证得.综上所述，正确命题的序号是.答案：4.如下图，两条线段AB、CD所在的直线是异面直线，CD平面，AB，M、N分别是AC、BD的中点，且AC是AB、CD的公垂线段.（1）求
9、证：MN；（2）若AB=CD=a，AC=b，BD=c，求线段MN的长.（1）证明：过B作BB，垂足为B，连结CB、DB，设E为BD的中点，连结NE、CE，则NEBB且NE=BB，又AC=BB，MCNE，即四边形MCEN为平行四边形（矩形）.MNCE.又CE，MN，MN.（2）解：由（1）知MN=CE，AB=CB=a=CD，BD=，CE=，即线段MN的长为.5.如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB=a.（1）求证：平面AD1B1平面C1DB；（2）求证：A1C平面AD1B1；（3）求平面AB1D1与平面BC1D之间的距离.（1）证明：D1B1DB，D1B1平面C1DB.同理，AB1平
10、面C1DB.又D1B1AB1=B1，平面AD1B1平面C1DB.（2）证明：A1C1D1B1，而A1C1为A1C在平面A1B1C1D1上的射影，A1C1D1B1.同理，A1CAB1，D1B1AB1=B1.A1C平面AD1B1.（3）解：设A1C平面AB1D1=M，A1C平面BC1D=N，O1、O分别为上底面A1B1C1D1、下底面ABCD的中心.则MAO1，NC1O，且AO1C1O，MN的长等于平面AD1B1与平面C1DB的距离，即MN=A1M=NC=A1C=a.培养能力6.如下图，直线a直线b，a平面，b平面，平面，平面，a与b所确定的平面不与垂直.如果a、b不是的垂线，则必有.证明：令=直
11、线a，=直线b.分别过a、b上任一点在内、内作a、b的垂线m、n.根据两平面垂直的性质定理，m，n.mn.a不垂直于，m，且a、m在内，a与m必是相交直线.又b与n在内，且有ab，mn，a，m.点评：根据ab，在、内另找一对平行线.由、，联想到平面垂直的性质定理.本例沟通了平行与垂直、线线与线面及面面之间的联系.7.如下图，已知平面平面平面，且位于与之间.点A、D，C、F，AC=B，DF=E.（1）求证：=；（2）设AF交于M，ACDF，与间距离为h，与间距离为h，当的值是多少时，BEM的面积最大?（1）证明：连结BM、EM、BE.，平面ACF分别交、于BM、CF，BMCF.=.同理，=.=.
12、（2）解：由（1）知BMCF，=.同理，=.S=CFAD（1）sinBME.据题意知，AD与CF是异面直线，只是在与间变化位置.故CF、AD是常量，sinBME是AD与CF所成角的正弦值，也是常量，令hh=x.只要考查函数y=x（1x）的最值即可，显然当x=，即= 时，y=x2+x有最大值.当= ，即在、两平面的中间时，S最大.8.如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，AB=a.（1）求证：平面AMN平面EFDB；（2）求异面直线BE与MN之间的距离.（1）证明：MNEF，MN平面EFDB.又AMDF，AM平面EFDB.
13、而MNAM=M，平面AMN平面EFDB.（2）解：BE平面EFDB，MN平面AMN，且平面AMN平面EFDB，BE与MN之间的距离等于两平行平面之间的距离.作出这两个平面与平面A1ACC1的交线AP、OQ，作OHAP于H.DB平面A1ACC1，DBOH.而MNDB，OHMN.则OH平面AMN.A1P=a，AP=a，设A1AP=，则cos=，OH=AOsin=a a=a.异面直线BE与MN的距离是a.探究创新9.科学植树的一个重要因素就是要考虑阳光对树生长的作用.现在准备在一个朝正南方向倾角为的斜坡上种树，假设树高为h m，当太阳在北偏东而仰角为时，该树在坡面上的影长为多少米？分析：如下图，DE
14、是高度为h的树，斜坡AD朝正南方向，AB为东西方向，BC为南北方向.CBD=，ACB=，EAC=，AED=90，影长AD=x为未知量.但x难以直接与上述诸已知量发生联系，故设DAC=为辅助未知量，以揭示x与诸已知量之间的数量关系，作为沟通桥梁.解：在ADE中，=，即=.在ACD中，CD=xsin，AC=xcos.在ABC中，BC=ACcos=xcoscos.在BCD中，tan=.由推得x=.由推得tan=tancos，即=arctan（tancos）.代入，即得树在坡面上的影长.思悟小结证明两平面平行的方法：（1）利用定义证；（2）利用判定定理证；（3）利用“垂直于同一直线的两个平面平行”来证
15、.面面平行常常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行.所以注意转化思想的应用，在处理两异面直线有关的问题中，通常采用过其中一直线上的一点作另一条直线的平行线或直接连结的方法，即搭桥的方法，把异面问题转化为平面问题，从而应用平面几何知识加以解决.两平面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，故应切实掌握好.教师下载中心教学点睛1.结合图形使学生熟练地掌握两个平面平行的判定定理及性质定理.2.判定两个平面平行是本节的重点，除了依据定义、判定定理外，还可用垂直于同一条直线的两个平面平行；法向量平行的两个平面也平行等.3.为了应用两平面平行的条件，往往作第三个平面与它们相交.拓展题例【例1
16、】 下列命题中，错误的是A.三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B.平面平面，a，过内的一点B有唯一的一条直线b，使baC.，、的交线为a、b、c、d，则abcd D.一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件解析：D错误.当两平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面.如下图，直线AB与、都成45角，但=l.答案：D【例2】 在四棱锥PABCD中，ABCD是矩形，PA平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：MN平面PAD；（2）当MN平面PCD时，求二面角PCDB的大小.（1）证明：取CD的中点E，连结ME、NE.M、N分别是AB、PC的中点，NEPD，MEAD.于是NE平面PAD，ME平面PAD.平面MNE平面PAD，MN平面MNE.MN平面PAD.（2）解：设MA=MB=a，BC=b，则MC=.N是PC的中点，MN平面PCD，MNPC.于是MP=MC=.PA平面ABCD，PAAM，PA=b.于是PD= b，EN是PDC的中位线，EN=PD=b.MECD，MN平面PCD，ENCD，MEN即为二面角PCDB的平面角.设为，于是cos=，=45，即二面角PCDB的大小为45.
