1、3.3 几个三角恒等式一、教学目标：知识与技能：通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力.过程与方法：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.情感、态度与价值观通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力.二重点难点
2、重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点.难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.三、教材与学情分析 本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的应用.本节的内容都是用例题来展现的,通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力. 本
3、节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点.四、教学方法 问题引导，主动探究，启发式教学五、教学过程（一）导入新课 思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函
4、数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换. 思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式
5、子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.（二）新知探究、提出问题与有什么关系? 如何建立cos与sin2之间的关系？sin2=，cos2=，tan2=这三个式子有什么共同特点？通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗?证明(1)sincos=sin(+)+sin(-); (2)sin+sin=2sin.并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cos=1-2sin2,将公式中的用代替,解出sin2即可.教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：是的二倍角.在倍角公式cos
6、2=1-2sin2中,以代替2,以代替,即得cos=1-2sin2, 所以sin2=. 在倍角公式cos2=2cos2-1中,以代替2,以代替,即得cos=2cos2-1, 所以cos2=将两个等式的左右两边分别相除, 即得tan2=. 教师引导学生观察上面的式，可让学生总结出下列特点：(1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).教师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提醒学生在以后的学习中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示为:sin=,cos=,tan=,
7、并称之为半角公式(不要求记忆),符号由所在象限决定. 教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换. 对于问题：（1）如果从右边出发，仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就会得出左式.但为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sincos呢？想到sin(
8、+)=sincos+cossin.从方程角度看这个等式，sincos，cossin分别看成两个未知数.二元方程要求得确定解，必须有2个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sincos的公式，列出sin(-)=sincos-cossin后，解相应的以sincos，cossin为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果.（2）由（1）得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与（1）没有什么区别.只需做个变换，令+=，-=，则=，=,代入 (1)式即得(2)式.证明:(1)因为sin(+)=sincos+cossin,sin(-)=sinco
9、s-cossin,将以上两式的左右两边分别相加,得sin(+)+sin(-)=2sincos,即sincos=sin(+)+sin(-).(2)由(1),可得sin(+)+sin(-)=2sincos.设+=,-=,那么=,=.把,的值代入,即得sin+sin=2sincos. 教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想,可以总结出在本例的证明过程中用到了换元的思想,如把+看作,-看作,从而把包含,的三角函数式变换成,的三角函数式.另外,把sincos看作x,cossin看作y,把等式看作x,y的方程,通过解方程求得x,这就是方程思想的体现.讨论结果：是的二倍角.sin2=1-cos.
10、略(见活动）.（三）应用示例例1 化简:. 活动：此题考查公式的应用，利用倍角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系.解:原式=tan. 点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.变式训练1.化简:sin50(1+tan10).解:原式=sin50=2sin50=2cos40=1.例2 已知sinx-cosx=,求sin3x-cos3x的值. 活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解.由于(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3=a3-b3-3ab(a-b),a3-b3=
11、(a-b)3+3ab(a-b).解完此题后,教师引导学生深挖本例的思想方法,由于sinxcosx与sinxcosx之间的转化.提升学生的运算.化简能力及整体代换思想.本题也可直接应用上述公式求之,即sin3x-cos3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=.此方法往往适用于sin3xcos3x的化简问题之中.解:由sinx-cosx=,得(sinx-cosx)2=,即1-2sinxcosx=,sinxcosx=.sin3x-cos3x=(sinx-cosx)(sin2x+sinxcosx+cos2x)=(1+)=. 点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注
12、意公式的灵活运用和化简的方法.变式训练2.已知sin+cos=,且,则cos2的值是_.答案:例3. 证明=tan(+). 活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：左边右边；右边左边；左边中间条件右边.教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导.注意式子左边包含的角为x,三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角，三角函数的种类为正切.解：方法一：从右边入手，切化弦，得tan(+)=,由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos+sin,得方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos,得=ta
13、n(+). 点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.变式训练3.已知,(0,)且满足:3sin2+2sin2=1,3sin2-2sin2=0,求+2的值.解法一:3sin2+2sin2=13sin2=1-2sin2,即3sin2=cos2, 3sin2-2sin2=03sincos=sin2, 2+2:9sin4+9sin2cos2=1,即9sin2(sin2+cos2)=1,sin2=.(0,),sin=.sin(+2)=sincos2+cossin2=sin3sin2+cos3sincos=3sin(sin2+cos2)=3=1.,(0,),+2(0,)
14、.+2=.解法二:3sin2+2sin2=1cos2=1-2sin2=3sin2,3sin2-2sin2=0sin2=sin2=3sincos,cos(+2)=coscos2-sinsin2=cos3sin2-sin3sincos=0.,(0,),+2(0,).+2=.解法三:由已知3sin2=cos2,sin2=sin2,两式相除,得tan=cot2,tan=tan(-2).(0,),tan0.tan(-2)0.又(0,),-20,得0-2.由tan=tan(-2),得=-2,即+2=.六、课堂小结1.先让学生自己回顾本节学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.积化和差与和差化积公式及其推导,三角恒等式与条件等式的证明.2.教师画龙点睛总结:本节学习了公式的使用,换元法,方程思想,等价转化,三角恒等变形的基本手段.七、课后作业1.课时练与测八、教学反思
