1、单元质量测试(七)时间：120分钟满分：150分第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1直线3xy10的倾斜角的大小为()A30 B60 C120 D150答案C解析直线的斜率k，120.故选C.2“a2”是“直线yax2与yx1垂直”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析由a2得两直线斜率满足(2)1，即两直线垂直；由两直线垂直得(a)1，解得a2.故选A.3已知双曲线1(a0，b0)的离心率为，则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCy2x Dyx答案A解析由题意得，双曲线的离心率e，故，故双曲线的渐近线
2、方程为yxx.4(2020烟台高三期末)从坐标原点O向圆x2y212x270作两条切线，切点分别为A，B，则线段AB的长为()A B3 C D3答案D解析根据题意，圆x2y212x270，即(x6)2y29，圆心为(6,0)，半径r3，如图，设N(6,0)，从坐标原点O向圆x2y212x270作两条切线，则AB与x轴垂直，设AB与x轴的交点为M，由|ON|6，|NA|3，得|OA|3，由OMAOAN，得|AM|，则|AB|2|AM|3.故选D.5已知双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点，离心率为.若点M在C上，且MF1MF2，M到原点的距离为，则C的方程为()A1 B1Cx2
3、1 Dy21答案C解析显然OM为RtMF1F2的中线，则|OM|F1F2|c.又e，得a1.进而b2c2a22.故C的方程为x21，故选C.6设F1，F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为()A B C D答案C解析令c.如图，据题意，|F2P|F1F2|，F1PF230，F1F2P120，PF2x60，|F2P|23a2c.|F1F2|2c，3a2c2c，3a4c，即椭圆的离心率为.故选C.7已知等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y212x的准线交于A，B两点，|AB|2，则C的实轴长为()A B2 C2
4、D4答案D解析因为抛物线y212x的准线为x3，而等轴双曲线C的焦点在x轴上，所以A，B两点关于x轴对称，且|AB|2，所以点(3，)在双曲线上，代入双曲线的方程x2y2a2中得95a24，所以a2，即2a4，故双曲线C的实轴长为4.故选D.8已知抛物线y24x与圆F：x2y22x0，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D，则下列关于|AB|CD|的值的说法中，正确的是()A等于1 B等于16C最小值为4 D最大值为4答案A解析圆F的方程为(x1)2y21.设直线l的方程为xmy1，代入y24x，得y24my40，y1y24.设点A(x1，y1)，D(x2，y2)则|AF
5、|x11，|DF|x21，所以|AB|AF|BF|x1，|CD|DF|CF|x2，所以|AB|CD|x1x2(y1y2)21.故选A.9(2019开封一模)已知P是双曲线1(a0，b0)上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|12，直线PF2的斜率为4，PF1F2的面积为24，则双曲线的离心率为()A3 B2 C D答案B解析P是双曲线1(a0，b0)上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，由|F1F2|12，得c6，由PF1F2的面积为24，可得P的纵坐标y满足12y24，y4.直线PF2的斜率为4，所以P的横坐标x满足4，解得x5，得P(5，
6、4)，|PF1| 13，|PF2| 7，所以2a137，a3，所以双曲线的离心率为e2.故选B.10(2019唐山模拟)已知F1，F2为双曲线：1(a0)的左、右焦点，P为双曲线左支上一点，直线PF1与双曲线的一条渐近线平行，PF1PF2，则a()A B C4 D5答案A解析如图，记PF2与双曲线的渐近线l的交点为M.与PF1平行的双曲线的渐近线为yx，由PF1PF2，得PF2l，则F2(c,0)到直线l：xy0的距离为d2.而OMF2为直角三角形，所以|OM|a.又OMF1P，O是F1F2的中点，所以|F1P|2|OM|2a，|PF2|2|MF2|4.而由双曲线的定义，有|PF2|PF1|2
7、a，即42a2a，所以a.故选A.11已知椭圆E：1(ab0)的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆以外，且线段PF1与椭圆E交于点M.若|OM|MF1|OP|，则椭圆E的离心率为()A B C1 D答案C解析过M作MHx轴于点H，由|OM|MF1|，知H为OF1的中点，进而得MH为PF1O的中位线，则M为F1P的中点从而依题意，有|F1P|OP|，即sinOF1P，则OF1P.则MF1O是边长为c的等边三角形连接MF2(F2为椭圆E的右焦点)，则由|OM|OF1|OF2|可知F1MF2.故e1.故选C.12如图，已知椭圆1(a0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y
8、轴于点H.若F1，H是线段MN的三等分点，则F2MN的周长为()A20 B10 C2 D4答案D解析解法一：设点H(0，t)，0t0，解得1a3.14与圆(x2)2y21外切，且与直线x10相切的动圆圆心的轨迹方程是_答案y28x解析设动圆圆心为P(x，y)，则|x1|1，依据抛物线的定义结合题意可知动圆圆心P(x，y)的轨迹是以(2,0)为焦点，x2为准线的抛物线，故方程为y28x.15(2019湖北七校联考)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，P是抛物线C上的点，且PFx轴若以AF为直径的圆截直线AP所得的弦长为1，则实数p的值为_答案解析由题意，得F，A，
9、设P在第一象限，则P，kAP1，则直线AP的方程为xy0，以AF为直径的圆的圆心为O(0,0)，半径R，则O到直线AP的距离d，则圆O截直线AP所得的弦长为122，解得p.16已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN|_.答案12解析解法一：由椭圆方程知椭圆C的左焦点为F1(，0)，右焦点为F2(，0)则M(m，n)关于F1的对称点为A(2m，n)，关于F2的对称点为B(2m，n)，设MN的中点为(x，y)，所以N(2xm,2yn)所以|AN|BN|2，故由椭圆定义可知|AN|BN|2612.解法二：根据已知条件画出图形，如
10、图设MN的中点为P，F1，F2为椭圆C的焦点，连接PF1，PF2.显然PF1是MAN的中位线，PF2是MBN的中位线，所以|AN|BN|2|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)2612.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知坐标平面上动点M(x，y)与两个定点P(26,1)，Q(2,1)，且|MP|5|MQ|.(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C，过点N(2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程解(1)由题意，得5，即5，化简，得x2y22x2y230，所以点M的轨迹方程
11、是(x1)2(y1)225.轨迹是以(1,1)为圆心，5为半径的圆(2)当直线l的斜率不存在时，得直线l为x2，此时所截得的线段长度为28，所以l：x2符合题意当直线l的斜率存在时，设l的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，圆心(1,1)到直线l的距离d.由题意，得24252，解得k.所以直线l的方程为xy0，即5x12y460.综上，直线l的方程为x2或5x12y460.18(本小题满分12分)已知椭圆C1：1(ab0)的右顶点与抛物线C2：y22px(p0)的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线C2截得的弦长为4.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方
12、程；(2)过点A(2,0)的直线l与C2交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M，证明：直线MN恒过一定点解(1)设椭圆C1的半焦距为c，依题意，可得a，则C2：y24ax，将xc代入，得y24ac，即y2，则有解得a2，b，c1.所以椭圆C1的方程为1，抛物线C2的方程为y28x.(2)证明：依题意，可知直线l的斜率不为0，可设l为xmy2.联立消去x，整理得y28my160.设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则点M(x1，y1)，由(8m)24160，解得m1或m1.且有y1y28m，y1y216，m，所以直线MN的斜率kMN.可得直线MN的方程为yy2(xx2)，即yxy2xx(x
13、2)所以当m1或m1时，直线MN恒过定点(2,0)19(2020深圳调研)(本小题满分12分)已知直线l经过抛物线C：x24y的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C在A，B两点处的切线分别与x轴交于点M，N.(1)求证：AMMF；(2)记AFM和BFN的面积分别为S1和S2，求S1S2的最小值解(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1，y2.由导数知识可知，抛物线C在点A处的切线l1的斜率k1，则切线l1的方程为yy1(xx1)，令y0，可得M.因为F(0,1)，所以直线MF的斜率kMF.所以k1kMF1，所以AMMF.(2)由(1)可知S1|AM|MF|，其中|AM
14、|，|MF|，所以S1|AM|MF|(y11).同理可得S2(y21).所以S1S2(y11)(y21)(y1y2y1y21).设直线l的方程为ykx1，由方程组可得x24kx40，所以x1x24，所以y1y21.所以S1S2(y1y22)(22)1，当且仅当y1y2时，等号成立所以S1S2的最小值为1.20(本小题满分12分)已知抛物线C1：y28x的焦点F也是椭圆C2：1(ab0)的右焦点，点P(0,2)在椭圆短轴CD上，且PP1.(1)求椭圆C2的方程；(2)设Q为椭圆C2上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过椭圆C2的右焦点F作OQ的平行线，交椭圆C2于M，N两点，求QMN面积的最
15、大值解(1)由抛物线C1：y28x，知焦点F的坐标为(2,0)，所以a2b24.由已知得点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)，又1，于是4b21，解得b25，a29，所以椭圆C2的方程为1.(2)设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x3，y3)，直线MN的方程为xmy2.由可得(5m29)y220my250.则y1y2，y1y2，所以|MN|.因为MNOQ，所以QMN的面积等于OMN的面积又点O到直线xmy2的距离d，所以QMN的面积S|MN|d.令 t，则m2t21(t1)，S.因为f(t)5t在1，)上单调递增，所以当t1时，f(t)取得最小值9.所以QMN面积的最大值为.2
16、1(2019郑州二模)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2y2r2(r0)与直线l0：yx2相切，点A为圆C1上一动点，ANx轴于点N，且动点M满足，设动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设P，Q是曲线C上两动点，线段PQ的中点为T，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，且k1k2，求|OT|的取值范围解(1)设动点M(x，y)，A(x0，y0)，由于ANx轴于点N，N(x0,0)又圆C1：x2y2r2(r0)与直线l0：yx2，即xy20相切，r2，圆C1：x2y24.由，得(x，y)(xx0，yy0)(x0,0)，即又点A为圆C1上一动点，x24y2
17、4，曲线C的方程为y21.(2)当直线PQ的斜率不存在时，可取直线OP的方程为yx，不妨取点P，则Q，T(，0)，|OT|.当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为ykxm，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由可得(14k2)x28kmx4m240，x1x2，x1x2.k1k2，4y1y2x1x20.4(kx1m)(kx2m)x1x2(4k21)x1x24km(x1x2)4m24m244m20，化简得2m214k2，m2.64k2m24(4k21)(4m24)16(4k21m2)16m20，设T(x0，y0)，则x0，y0kx0m.|OT|2xy2，|OT|.综上，|OT|的取值范围为.2
18、2(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且椭圆C上的动点P到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C上是否存在点M(m，n)，使得直线l：mxny1与圆O：x2y21相交于不同的两点A，B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由解(1)依题意e，则c2a2，所以b2a2c2a2.因为a，所以b1.设P(x，y)是椭圆C上任意一点，则1，所以x2a2a23y2，所以|PQ|(yb，b)因为b1，所以当y1时，|PQ|取得最大值3，所以a，所以b1，c.故椭圆C的方程为y21.(2)假设存在点M(m，n)在椭圆C上，满足题意，则n21，m233n2，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)由得(m2n2)x22mx1n20.所以4m24(m2n2)(1n2)4n2(m2n21)8n2(1n2)0，可得n21.由根与系数的关系得x1x2，x1x2，所以y1y2，所以|AB|2.设原点O到直线AB的距离为h，则h，所以SOAB|AB|h.设t，由0n21，得m2n232n2(1,3，所以t，SOAB，t，所以当t时，OAB的面积最大，为.此时，点M的坐标为或或或.
