1、A.基础达标1已知向量a，b满足|a|b|2，a与b的夹角为120，则|ab|的值为()A1B.C2 D3解析：选C.|ab|2a22abb222222cos 1202212.|ab|2.2设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab()A1 B2C3 D5解析：选A.因为|ab|2(ab)2a2b22ab10，|ab|2(ab)2a2b22ab6，两式相减得：4ab4，所以ab1，故选A.3已知向量a，b，满足|a|3，|b|2，且a(ab)，则a与b的夹角为()A. B.C. D.解析：选D.设a与b的夹角为，因为|a|3，|b|2，且a(ab)，所以a(ab)a2ab|a|2|a|b|co
2、s 96cos 0，则cos ，又因为0，即a与b的夹角为.4对于非零向量a，b，下列命题中正确的是()Aaba在b方向上的投影为|a|Bab0a0或b0Cabab(ab)2Dacbcab解析：选C.选项A：ab，0或，所以所求投影为|a|cos |a|；选项B：ab0a0或b0或ab；选项C：abab0ab(ab)2；选项D：abac(ab)c0ab或(ab)c，故选C.5已知平面向量a，b，|a|1，|b|，且|2ab|，则向量a与向量ab的夹角为()A. B.C. D解析：选B.|2ab|24|a|24ab|b|27，|a|1，|b|，44ab37，ab0，ab.如图所示，a与ab的夹角
3、为COA，tanCOA，COA，即a与ab的夹角为.6已知e为一单位向量，a与e之间的夹角是120，而a在e方向上的投影为2，则|a|_.解析：|a|cos 1202，|a|()2，|a|4.答案：47若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是北偏东60方向，且|a|b|1，则(3a)(ab)_.解析：设a与b的夹角为，则120，(3a)(ab)3|a|23ab3311cos 12033.答案：8已知向量a与b的夹角为60，且|a|4，(ab)(2a3b)12，则|b|_.解析：(ab)(2a3b)|a|2ab3|b|216|a|b|cos 603|b|216|b|3|b|2，即16|b|3|b
4、|212，3|b|2|b|40，解得|b|.答案：9已知向量a与b的夹角为120，且|a|4，|b|2，求(1)|ab|；(2)|3a4b|.解：由已知得ab42cos 1204，a2|a|216，b2|b|24.(1)因为|ab|2(ab)2a22abb2162(4)412，所以|ab|2.(2)因为|3a4b|2(3a4b)29a224ab16b291624(4)164304，所以|3a4b|4.10设向量a，b满足|a|b|1，|3ab|.(1)求|a3b|的值；(2)求3ab与a3b夹角的正弦值解：(1)由|3ab|，得(3ab)25，所以9a26abb25.因为a2|a|21，b2|
5、b|21，所以96ab15，所以ab.所以(a3b)2a26ab9b2169115.所以|a3b|.(2)设3ab与a3b的夹角为.因为(3ab)(a3b)3a28ab3b231831.所以cos .因为0180，所以sin .所以3ab与a3b夹角的正弦值为.B.能力提升1.如图，在ABC中，ACB90且ACBC4，点M满足3，则()A2 B3C4 D6解析：选C.由ACB90，得0.又由3，得3()，解得，所以()2424.2设a，b是两个非零的平面向量，下列说法正确的是()若ab0，则有|ab|ab|；|ab|a|b|；若存在实数，使得ab，则|ab|a|b|；若|ab|a|b|，则存在
6、实数，使得ab.A BC D解析：选B.对于，当ab0时，|ab|ab|，正确；对于，ab|a|b|cos (为a与b的夹角)，|ab|a|b|不一定成立，错误；对于，当ab时，则|ab|bb|b|1|，|a|b|b|b|b|(|1)，|ab|a|b|不一定成立，错误；对于，当|ab|a|b|时，a22abb2|a|22|a|b|b|2，ab|a|b|，a，b共线，即存在实数，使得ab，正确综上，正确的是.故选B.3在等腰ABC中，ABAC1，B30，则向量在向量上的投影等于_解析：因为在等腰ABC中，ABAC1，B30，所以BAC120，因此向量在向量上的投影为|cos 120.答案：4已知
7、a，b，c为单位向量，且满足3ab7c0，a与b的夹角为，则实数_.解析：由3ab7c0，可得7c(3ab)，即49c29a22b26ab，而a，b，c为单位向量，则a2b2c21，则49926cos ，即23400，解得8或5.答案：8或55在四边形ABCD中，已知AB9，BC6，2.(1)若四边形ABCD是矩形，求的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，且6，求与夹角的余弦值解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以0，由2，得，.()()()()22368118.(2)由题意，()()22361818.又6，186，36.又|cos 96cos 54cos ，54cos 36，即cos .与夹角的余弦值为.6(选做题) (2015延边高一检测)已知如图，两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点C是以O为圆心的劣弧的中点求：(1)|的值；(2)的值解：(1)因为和的长度为1，夹角为，所以|cos ，所以| . 1.(2)因为点C是以O为圆心的劣弧的中点，所以AOCBOC，所以，所以()()()1.
