1、8.1.2用二分法求方程的近似解学 习 目 标核 心 素 养1通过实例理解二分法的概念(难点)2了解二分法是求方程近似解的常用方法3能够借助计算器用二分法求方程的近似解(重点)通过学习本节内容，培养学生的逻辑推理的数学核心素养通过上一节的学习，利用函数的零点存在性定理可以确定函数的零点所在的区间，请利用计算器尝试探求函数f(x)ln x2x6零点的近似值(精确到01)1二分法的定义对于在区间a，b上的图象连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值，即f(x)0的近似解的方法叫做二分法2用二分法
2、求一元方程f(x)0近似解的步骤(1)确定区间：一元方程f(x)0的根所在的区间a，b，使f(a)f(b)0(2)求区间(a，b)的中点：x1(3)计算f(x1)若f(x1)0，x1就是一元方程f(x)0的近似解；若f(a)f(x1)0，则令bx1，此时零点x0(a，x1)；若f(x1)f(b)0，f(2)3120，f(4)log2420，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点3用二分法求函数yf(x)在区间2,3上的零点的近似值，验证f(2)f(3)0，取区间2,3的中点x125，计算得f(25)f(3)0，此时零点x0所在的区间是_(2,25)由于所以f(2)f(2
3、5)0，所以x0(2,25)“二分法”求方程的近似解【例1】证明：方程63x2x在区间(1,2)内有唯一一个实数解，并求出该实数解(精确到01)思路点拨解分别画出函数y2x和y63x的图象，如图所示：在两个函数图象的交点处，函数值相等，因此，这个点的横坐标就是方程63x2x的解由函数y2x和y63x的图象可以发现，方程63x2x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(1,2)上设f(x)2x3x6，用二分法逐次计算，得：f(1)0x1(1,2)，f(1)0x1(1,1.5)，f(1)0x1(1,1.25)，f(1.125)0x1(1.125,1.25)，f(1.187 5)0x1(1.187 5
4、,1.25)，f(1.218 75)0x1(1.218 75，1.25)，f(1218 75)0x1(1218 75，1.234 375)因为1.218 75与1.234 375精确到01的近似值都为1.2，所以原方程的近似解为1.21由方程的解与函数零点的等价性知，用二分法求方程的近似解问题可通过构造函数，转化为求函数的零点近似值问题2求方程f(x)g(x)的近似值注意的问题：确定初始区间时，一般采用图象法，作函数yf(x)，yg(x)的图象，观察两个函数图象的交点的横坐标的取值范围；也可以利用函数的零点存在性定理判定；运用二分法时，需构造函数F(x)f(x)g(x)，求F(x)0的近似解1
5、求的近似值(精确到0.1)解是x32的根，因此可构造f(x)x32，问题转化为“求f(x)的零点的近似解”用二分法求其零点由f(1)10故可取区间1,2为计算的初始区间用二分法逐次计算，如下：f(1)0x1(1,1.5)，f(1.25)0x1(1.25,1.5)，f(1.25)0x1(1.25,1.375)，f(1.25)0x1(1.25,1.312 5)，至此可见，区间1.25,1.312 5上所有值精确到0.1均为1.3，所以1.3是精确到0.1的近似值二分法求方程近似解的条件探究问题1使用二分法求方程近似解的理论依据是什么？提示理论依据是零点存在性定理2能用二分法求方程近似解的条件是什么
6、？提示条件共三点：(1)f(x)图象连续不断；(2)起始的两个端点处的函数值异号；(3)每次区间等分后，必须有端点函数值异号【例2】(1)下列函数没有零点的是_，在有零点的函数中，必须用二分法求零点的是_，一定不能用二分法求零点的是_(填序号)yx7；y2；ylog4 x3；y2xx；yx2；y2x2；y2x1(2)下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求零点的是_，能用二分法求零点的是_(填序号)思路点拨根据二分法的概念进行判断(1)(2)(1)中y0时，在a，b上也可能存在零点2用二分法求函数的近似零点(或方程的近似解)需注意两点(1)在探索初始区间时，区间长度不易过长，否则会导致计算量
7、增大，出现错误(2)求解过程中，区间两端点的值按要求精确到某一值xi时，是否具有相同的值，若相同即为所求，否则继续，直到满足要求为止1用“二分法”可求一元方程的近似解，对于精确到的说法正确的是()A越大，近似解的精确度越高B越大，近似解的精确度越低C重复计算次数就是D重复计算次数与无关B依“二分法”的具体步骤可知，越大，近似解的精确度越低2在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是2,4，则第三次所取的区间可能是()A1,4B2,1C2,25 D05,1D因第一次所取的区间是2,4，所以第二次所取的区间可能是2,1，1,4；第三次所取的区间可能为2，05，05,1，1,25，25,
8、4，只有D在其中，故答案为D3用二分法求函数yf(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)f(4)0，精确到01，取区间(2,4)的中点x13，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0_(填区间)(2,3)由f(2)f(3)0可知，x0(2,3)4用二分法求函数f(x)3xx4的一个零点，其参考数据如下：f(1.600 00)0.200f(1.587 5)0.133f(1.575 0)0.067f(1.562 5)0.003f(1.556 2)0.029f(1.550 0)0.060据此数据，求f(x)3xx4的一个零点的近似值(精确到001)解由表中f(1562 5)0003，f(1556 2)0029，得f(1562 5)f(1556 2)0又因为1562 5和1556 2精确到001的近似值都为156，故f(x)3xx4的一个零点近似值为156
