1、20112012学年度高二年级期末考试 理科数学 2012.7一.填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上)1.若复数,其中是虚数单位,则复数的虚部为 . 2. 设是虚数单位，若是实数，则实数 . 3.设异面直线的方向向量分别为,则异面直线所成角的大小为 . 4. 在正方体中,设点满足,则向量 (用表示). 5.在的二项展开式中,的系数是 . 6. 某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术6节课，要求数学课排在前3节，体育课不排在第1节，则不同的排法种数为 .（以数字作答）. 7.某篮球运动员在三分线投篮的命中率是，他投篮10次，恰好投进3个球
2、的概率 （用数值作答）8. 将曲线绕原点逆时针旋转后，得到的曲线方程为 .9.设,那么 .10. 随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若期望，则方差的值是 11袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量，则P（7）= . 第12题12.古希腊毕达哥拉斯学派把3,6,10,15,这列数叫做三角形数,因为这列数对应的点可以排成如图所示的三角形, 则第个三角形数为 .13. 已知,若,则下列说法正确的序号是 .可能都是偶数; 不可能都是偶数;可能都是奇数; 不可能都是奇数. 14.数列是正项等差数列,若,则数列也为等差数列,类比上述结论,数列
3、是正项等比数列,若 ,则数列也为等比数列. 二.解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知复数, ()，在复平面内对应的点分别为.(1) 若是纯虚数,求的值；(2) 若在复平面内对应的点位于第四象限,求的取值范围；(3) 若都是虚数,且,求.16(本小题满分14分)给定矩阵.(1)求矩阵的逆矩阵;(2)设椭圆在矩阵对应的变换下得到曲线,求的面积.17. (本小题满分14分)已知四棱锥中,平面,且,底面为直角梯形,分别是的中点.第17题(1)设为线段上一点,若平面,求的长;(2)求平面与底面所成锐二面角的大小.18. (本小题满分1
4、6分)某品牌的汽车4S店,对最近100位采用分期付款的购车者进行统计,统计结果如下表所示:付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数402010已知分3期付款的频率为0.2,4S店经销一辆该品牌的汽车,顾客分1期付款,其利润为1万元;分2期或3期付款,其利润为1.5万元;分4期或5期付款,其利润为2万元.用表示经销一辆汽车的利润.(1)求上表中的值;(2)若以频率作为概率,求事件:“购买该品牌汽车的3位顾客中,至多有1位采用3期付款”的概率;(3)求的分布列及数学期望.19. (本小题满分16分) 已知数列的前项和为（1）计算,根据计算结果,猜想的表达式,并用数学归纳法进行证明；（2）试用其它
5、方法求20.(本小题满分16分)圆与椭圆有很多类似的性质,如圆的面积为(为圆的半径),椭圆的面积为(分别为椭圆的长、短半轴的长).某同学研究了下面几个问题:(1)圆上一点处的切线方程为,类似地,请给出椭圆上一点处的切线方程(不必证明);(2)如图1,为圆的切线,为切点,与交于点,则.如图2,为椭圆的切线,为切点,与交于点,请给出椭圆中的类似结论并证明.第20题(3)若过椭圆外一点作两条直线与椭圆切于两点,且恰好过椭圆的左焦点,求证:点在一条定直线上.20112012学年度高二年级期末考试 理科数学参考答案及评分标准 2012.7一.填空题1.; 2.; 3.; 4. ; 5.; 6.312;
6、7.; 8. ;9. ; 10. ; 11.; 12. ; 13. ; 14. .二.解答题15.（1）因为复数()是纯虚数,所以,且,解得； 4分（2）因为复数()在复平面内对应的点位于第四象限,所以,解之得； 9分 （3）因为复数, ()， 所以在复平面内对应的点分别为，又因为复数都是虚数,且，所以，且解之得，12分所以。 14分16 (1)设矩阵的逆矩阵为,则, 2分即, 4分故, 6分解之得,从而矩阵的逆矩阵为. 8分(2)由已知得,10分设为椭圆上任意一点,点在矩阵对应的变换下变为点,则有,即,所以, 12分又点在椭圆上,故,从而,故曲线的方程为,其面积为. 14分17. (1)因为
7、平面, ，所以以为原点,以分别为轴建立空间直角坐标系,又因为，分别是的中点,所以有,2分因为为线段上一点,所以可设,则,，3分设平面的法向量为,则有:令,则, 6分又因为/平面,所以,得,从而得,故. 6分(2)设平面的一个法向量为,又,则有:令,则, 又为平面的一个法向量,所以,故平面与底面所成锐二面角的大小为.14分18. (1)由得,因为,所以，2分(2)“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率: 6分(3)记分期付款的期数为,依题意得10分因为的可能取值为1,1.5,2(单位万元),并且13分11.520.40.40.2所以的分布列为所以的数学期望为(万元)16分19. （1）因为 ；.可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数一致,分母可用项数表示为.于是猜想. 6分下面用数学归纳法证明这个猜想. 当时，左边=,右边=,猜想成立 假设()时，猜想成立，即,那么所以当时，猜想也成立根据和，可知猜想对任何时都成立12分（2） 16分20.(1)椭圆上一点处的切线方程为2分(2)如图2,为椭圆的切线,为切点,与交于点,则4分证明:设,则直线的方程为.令,得,所以点的坐标为6分又点的坐标为,所以8分(3)证明:设,则点处的切线方程为,点处的切线方程为10分将点代入,得,所以直线的方程为14分又因为直线过椭圆的左焦点,所以,则,故点在椭圆的左准线上.16分
