1、赣州市第一中学2021学年高二第二学期开学摸底测试 满分：150分 2021年2月一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知命题，则为（ ）ABCD2双曲线的离心率为（ ）A1BCD23若向量，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）A4B6C8D125执行如图所示的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为（ ）ABCD6一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当，时，称该三
2、位自然数为“凹数”（如213，312等），若，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是（ ）ABCD7已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD8若数列是等差数列，则数列也为等差数列类比这一性质可知，若正项数列是等比数列，且也是等比数列，则的表达式应为（ ）ABCD9如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为，其余部分记为在整个图形中随机取一点，此点取自I，的概率分别记为，则（ ）ABCD10如图，在正方体中，E是的中点，P为地面A
3、BCD内一动点，设、PE与地面ABCD所成的角分别为、（、均不为0），若，则动点P的轨迹为哪种曲线的一部分（ ）A直线B圆C椭圆D抛物线11如图，空间四边形OABC中，点M在上，且，点N为BC中点，则（ ）ABCD12如图，焦点在x轴上的椭圆的左、右焦点分别为、，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与y轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为Q，若，则该椭圆的离心率（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知抛物线，则其准线方程为_14某市A、B、C三个区共有高中学生20000人，其中A区高中学生7000人，现采用分层抽样的方法从这三个区所有高中学生中抽取一个容量为
4、600人的样本进行学习兴趣调查，则A区应抽取_15正方体的内切球和外接球的体积之比为_16已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若，则C的离心率为_三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知命题方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；命题实数t满足不等式（1）若命题p为真，求实数t的取值范围；（2）若“命题p为真”是“命题q为真”的充分不必要条件，求实数a的取值范围18（12分）在某高校自主招生考试中，所有选报类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等
5、级某考场考生的两科考试成绩数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（2）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（3）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率19（12分）如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD是直角梯形，其中，O是AD上一点（1）若平面PBO，试指出点O的位置；（2）求证：平面平面PCD20（12分）已知椭圆，左、右两个焦点分别为
6、、，上顶点，是正三角形且周长为6（1）求椭圆C的标准方程及离心率；（2）O为坐标原点，P是直线上的一个动点，求的最小值，并求出此时点P的坐标21（12分）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，且，（）求证：平面DCF；（）设，当为何值时，二面角的大小为22（12分）已知椭圆的离心率为，焦距为，过点且不过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线交于点M（1）求椭圆C的方程；（2）若AB垂直于x轴，求直线MB的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由参考答案1【考点】命题的否定【分析】运用特称命题的否定是全称命题，即可得到【解答】解：命题，则为故选：A2【考点
7、】双曲线的简单性质【分析】将双曲线化成标准形式，得，从而得出a、b的值，用平方关系算出，再用双曲线的离心率公式，可得离心率e的值【解答】解：双曲线3x2-y2=3化成标准形式为，得2由此可得双曲线的离心率为故选D3解析：选B若“”，则，则或；若“”，则，即“”，所以“”是“”的必要不充分条件4由三视图得几何体为四棱锥，如图记作，其中面ABCD，且ABCD为直角梯形，故选A5解析：选B当时，若执行“是”，则，与题意矛盾；若执行“否”，则，满足题意，故应执行“否”故判断框中的条件可能为6解析：选C由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；同理由1，2，4
8、组成的三位自然数共6个；由1，3，4组成的三位自然数也是6个；由2，3，4组成的三位自然数也是6个所以共有个当时，有214，213，312，314，412，413，共6个“凹数”；当时，有324，423，共2个“凹数”所以这个三位数为“凹数”的概率7【考点】双曲线的简单性质【分析】确定椭圆、双曲线的焦点坐标，求出m的值，即可求出双曲线的渐近线方程【解答】解：椭圆的焦点坐标为双曲线的焦点坐标为，双曲线与椭圆有相同的焦点，双曲线的渐近线方程为故选：A8解析：选D因为数列是等差数列，所以（d为等差数列的公差），也为等差数列，因为正项数列是等比数列，设公比为q，则，所以也是等比数列9【分析】如图：设，
9、分别求出，所对应的面积，即可得到答案【解答】解：如图：设，故选：A【点评】本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题10【考点】平面与圆柱面的截线【分析】通过建系如图，利用，结合平面向量数量积的运算计算即得结论【解答】解：建系如图，设正方体的边长为1，则，设，则，即代入数据，得：，整理得：，变形，得：即动点P的轨迹为圆的一部分，故选：B11【考点】向量加减混合运算及其几何意义【分析】由题意，把，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项【解答】解：由题意又，故选B12【考点】椭圆的简单性质【分析】由的内切圆在边上的切点
10、为Q，根据切线长定理，可得，再结合，求得，即，再由隐含条件求得c，则椭圆的离心率可求【解答】解：如图，的内切圆在边上的切点为Q根据切线长定理可得，则，即，又，则，椭圆的离心率故选：D13【解答】14【考点】分层抽样方法【分析】本题是一个分层抽样方法，根据总体数和要抽取的样本数，得到每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以A区的人数，得到A区要抽取的人数【解答】解：由题意知A区在样本中的比例为A区应抽取的人数是15关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a，外接球的直径等于16【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线的右顶点为，以A
11、为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若，可得A到渐近线的距离为：，可得：，即，可得离心率为：故答案为：17【考点】命题的真假判断与应用【分析】（1）根据椭圆的方程的特征，得即可；（2）由“命题p为真”是“命题q为真”的充分不必要条件，得是不等式的解集的真子集.【解答】解：（1）方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，解得（2）“命题p为真”是“命题q为真”的充分不必要条件，是不等式的解集的真子集令，解得，故实数a的取值范围为18解：（1）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有（人），所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为（2
12、）由图知，“数学与逻辑”科目的成绩为D的频率为，故该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为（3）因为两科考试中，共有6个得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），有6个基本事件设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A的为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则19（1）解平面PBO，CD属于平面ABCD，且平面平面，又，四边形BCDO为平行四边
13、形则，而，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点（2）证明侧面底面ABCD，面面，AB属于底面ABCD，且，平面PAD又PD属于平面PAD，又，且，平面PAB又PD属于平面PCD，平面平面PCD20【考点】椭圆的简单性质；两点间的距离公式【分析】（1）根据椭圆的定义和周长为6，建立关于a、b、c的方程组，解之得、。且，即可得到椭圆C的标准方程，用离心率的公式即可得到该椭圆的离心率；（2）设直线的方程为，求出原点O关于直线的对称点M的坐标为，从而得到的最小值为，再由的方程与方程联解，即可得到此时点P的坐标【解答】解：（1）由题意，得，解之得，故椭圆C的方程为，离心率；（2）是正三角形，可得直线
14、的斜率为，直线的方程为设点O关于直线的对称点为，则解之得，可得M坐标为，的最小值为直线的方程，即由，解得，所以此时点的坐标为综上所述，可得求的最小值为，此时点P的坐标为21解：由条件：，设，以C为原点，CB，CD，CF为x，y，z轴建立坐标系，则，（1）平面DCF的一个法向量，又面CDF，面DCF（2）平面EFC的法向量设平面AEF的一个法向量，令，则，即，解得当时，二面角的大小为22解：（1）由题意可得，即又，解得，所以椭圆的方程为（2）由直线l过点且垂直于x轴，设，则直线AE的方程为令，可得，所以直线BM的斜率（3）直线BM与直线DE平行理由如下：当直线AB的斜率不存在时，由（2）知又因为直线DE的斜率，所以；当直线AB的斜率存在时，设其方程为，则直线AE的方程为令，得所以直线BM的斜率联立，消去y，得，则，因为所以，即综上所述，直线BM与直线DE平行
