1、广西南宁第三中学2020-2021学年高二数学上学期段考试题 理（含解析）一、选择题1. 已知命题，.则为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定，改量词、否结论，即可得出结果.【详解】命题是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，先改写量词，然后否定结论即可得到，该命题的否定为“，”.故选：C【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题型.2. 甲、乙两队准备进行一场篮球赛，根据以往的经验甲队获胜的概率是，两队打平的概率是，则这次比赛乙队不输的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】乙不输与甲获胜是对立事件，由此可得【详解】故选
2、C【点睛】本题考查对立事件的概率计算，掌握互斥事件与对立事件的判断是解题基础3. 过点，斜率是3的直线的方程是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由点斜式可求得直线方程【详解】P(2,0)，k3，由点斜式为y3(x2)，选D【点睛】考查学生对点斜的掌握，较简单4. 已知命题：，使；命题：，都有，则下列结论正确的是（ ）A. 命题“”是真命题：B. 命题“”是假命题：C. 命题“”是假命题：D. 命题“”是假命题【答案】B【解析】【分析】根据正弦函数的性质判断命题为假命题，由判断命题为真命题，从而得出答案.【详解】因为的值域为，所以命题为假命题因为，所以命题为真命题则命题“”是
3、假命题，命题“”是假命题，命题“”是真命题，命题“”是真命题故选：B5. 在空间中，设，为两条不同直线， ，为两个不同平面，则下列命题正确的是A. 若且，则B 若，则C. 若且，则D. 若不垂直于，且，则必不垂直于【答案】C【解析】【详解】解：由m，n为两条不同直线，为两个不同平面，知：在A中，若m且，则m或m，故A错误；在B中，若，m，n，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若m且，则由线面垂直的判定定理得m，故C正确；在D中，若m不垂直于，且n，则m有可能垂直于n，故D错误故选：C6. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A. B. 1C. D. 【答案】C【解析】该
4、几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积故选.7. 已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先解出，成立时的范围，然后由是的必要不充分条件，可得是的充分不必要条件，根据充分不必要条件的关系列出不等式，即可解出的范围.【详解】解：若成立，则；若成立，则.因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件.，解得：,检验，当时成立，所以.故选：C.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查简易逻辑的判断方法，考查学生的推理和计算能力，属于基础题.8. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】
5、由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算的值并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】模拟程序的运行，可得开始故选【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题9. 三国时代吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2勾股(股-勾)2朱实黄实弦实，化简，得勾2股2=弦2，设勾股中勾股比为，若向弦图内随机抛掷100
6、0颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A. 866B. 500C. 300D. 134【答案】D【解析】【分析】首先设勾为，则股为，得到弦，再利用几何概型面积公式即可得到落在黄色图形内的概率为，从而得到答案.【详解】设勾为，则股为，则弦，则图中大正方形的面积为，小正方形的面积.根据几何概型可知：落在黄色图形内的概率，所以落在黄色图形内的图钉数大约为故选：D【点睛】方法点睛：本题主要考几何概型，属于中档题，常见几何概型为：（1）长度型；（2）面积型；（3）体积型；10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A. 的最大值为1B. 的最小正周期为C. 的图像关于直线对称D.
7、的图像关于点对称【答案】C【解析】【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简得f(x)的解析式，再利用三角函数函数性质考查各选项即可【详解】函数= sin（2x）+1对于A：根据f（x）sin（2x）+1可知最大值为2；则A不对；对于B：f（x）sin（2x）+1，T则B不对；对于C：令2x=，故图像关于直线对称则C正确；对于D：令2x=，故的图像关于点对称则D不对故选C【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键11. 平行四边形中，点在边上，则的最大值为（ ）A. 2B. C. 5D. 【答案】A【解析】平行四边形中，点在边上，以为原点，以所在的直线
8、为轴，以的垂线为轴，建立坐标系，,设,则，设，因为，所以当时有最大值，故答案为.12. 在中， ，是边上两点，构成以2为公比的等比数列，则三角形的面积为（ ）A. 31.2B. 32.4C. 33.6D. 34.8【答案】B【解析】【分析】由等比数列得比例式，从而相似三角形，得角相等，最终得，求得三角形的线段长，并得出，易求得面积【详解】由知，又，故，从而，又由得，于是，在中，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的性质，考查三角形面积问题，解题关键是由等比数列得比例式，从而得相似三角形（平常很少遇到，要注意），得出相等的角，然后可求得各线段长，再用直角三角形得角的正弦，可求得三角形面积
9、二、填空題13. 已知实数，满足约束条件，则的最小值为_【答案】4【解析】【分析】作出可行域作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x+2y=0并平移，由图知当直线3x+2y-z=0经过点A(0，2)时，z=3x+2y取得最小值，即zmin=30+22=4.故答案为：414. 某班的全体学生某次测试成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：， ，则该次测试该班的平均成绩是_（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）【答案】【解析】【分析】根据频率分布直方图求平均数的方法求解即可.【详解】平均分是每个小长方形的面积乘以每个小长
10、方形底边中点横坐标的和.平均分为：.故答案：15. 如图，是直三棱柱， ，点 、 分别是 ， 的中点，若 ，则 与 所成角的余弦值为 【答案】.【解析】【分析】取BC的中点E，连接EF1，则EF1/BD1，所以就是异面直线BD1与AF1所成的角，【详解】取BC的中点E，连接EF1，则EF1/BD1，所以就是异面直线BD1与AF1所成的角，16. 在等腰三角形 中， ， ，将它沿 边上的高 翻折，使 为正三角形，则四面体 的外接球的表面积为_【答案】【解析】【详解】翻折后所得的四面体ABCD的直观图如图所示，易知AD平面BCD，AD=,BD=BC=CD=3，设BCD的中心为G，则DG=.则外接球
11、的半径，从而外接球的表面积为.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题17. 学生会有、共6名同学，其中4名男生2名女生，现从中随机选出2名代表发言，求：（1）列出所有可能的抽取结果，并求同学被选中的概率；（2）至少有1名女同学被选中的概率【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用列举法得出所有的抽取结果以及被选中的情况，再由概率公式得出答案
12、；（2）列举出没有女同学被选中的情况，从反面得出至少有1名女同学被选中的概率【详解】（1）选两名代表发言一共有，共种情况其中被选中的情况是共种.所以被选中的概率为.（2）不妨设四位同学为男同学，则没有女同学被选中的情况是：共种则至少有一名女同学被选中的概率为.18. 若数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前项和【答案】(1) 或.(2) .【解析】【详解】分析：（1），即或，或；(2) 由，可得，利用裂项相消法求和即可.详解： （1）当时，则当时，即或或或（2）由，19. 现有某高新技术企业年研发费用投入(百万元)与企业年利润(百万元)之间具有线性相关关系,近5年
13、的年研发费用和年利润的具体数据如表:年研发费用（百万元） 年利润 （百万元） 数据表明与之间有较强的线性关系(1)求对的回归直线方程；(2)如果该企业某年研发费用投入8百万元,预测该企业获得年利润为多少?参考数据:回归直线的系数【答案】(1) ；(2) 百万元【解析】【分析】（1）求出 ，利用最小二乘法即可求得对的回归直线方程；（2）令，代入线性回归方程，即可预测该企业获得年利润为多少【详解】（1）由题意可知，所求回归直线的方程为（2）在（2）中的方程中，令，得，故如果该企业某年研发费用投入8百万元，预测该企业获得年利润为9.5百万元【点睛】本题主要考查利用最小二乘法求线性回归方程，属于简单题
14、20. 中，三个内角的对边分别为，若，且.（）求角的大小；（）若，求周长的取值范围.【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（）由，得，由正弦定理边化角得，从而得解；（）根据余弦定理可知，进而得，再由两边之和大于第三边，即可得范围.试题解析：（），则有，.（）根据余弦定理可知，又，则周长的取值范围是. 21. 如图，在长方形中，点是的中点将沿折起，使平面平面，连结、（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）计算出得证，从而由面面垂直性质定理得线面垂直中，又得线线垂直，再由已知线线垂直可证得结论线面垂直；（2）取的中点，连结
15、， 可证平面，过作直线，以、分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦【详解】（1）证明：，又平面平面，平面平面，平面，又平面，所以，又，所以平面BDE.（2）取的中点，连结，又平面平面，平面，过作直线，以、分别为为轴，轴，轴建立空间直角坐标系则，平面的法向量，又，设平面的法向量为，即平面法向量平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】方法点睛：本题考查证明线面垂直，考查求二面角证明线面垂直的方法是：根据线面垂直的判定定理先证线线垂直，当然证明线线垂直又根据面面垂直的性质定理得线面垂直，从而得线线垂直三个垂直相互转化可证结论；求二面角（空间角）常用方法是建立空间直角坐标系，
16、用空间向量法求空间角，用计算代替证明22. 已知点，曲线上任意一点到点的距离均是到点距离的倍（1）求曲线的方程：（2）已知，设直线：交曲线于、两点，直线：交曲线于、两点，、两点均在轴下方当的斜率为时，求线段的长【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设动点坐标为，由两点间距离公式得等式，化简后可得轨迹方程；（2）由题意知，且两条直线均过定点，设曲线的圆心为，则，线段的中点为，则直线，设直线，可得，利用圆的几何性质得，从而求得得或，确定直线，可得坐标，然后求得两点坐标，得弦长【详解】解：（1）设曲线上任意一点坐标为，由题意得，整理得，即.（2）由题意知，且两条直线均过定点，设曲线的圆心为，则，线段的中点为，则直线，设直线，由得点，由圆的几何性质得，而，解得或，又两点均轴下方，所以直线，由，解得或，不失一般性，设，由，消去得方程的两根之积为1，所以点的横坐标，又因为点在直线上，解得，直线，所以，同理可得，所以线段的长为.【点睛】关键点点睛：本题考查求圆的轨迹方程，考查求圆中弦长本题求弦长方程是求出交点坐标，再得弦长，而解题关键是由直线，且交点为定点，设出方程，中点，由圆的性质得求得方程，得出两点坐标，再得两点坐标，得弦长
