1、一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合，若，则实数的值为 【答案】2【解析】试题分析：由题意得，,则,则考点：元素与集合关系2.已知复数满足，若的虚部大于0，则 【答案】【解析】试题分析：设，因此 ，又则考点：复数概念3.交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在以下的汽车有 辆【答案】75【解析】试题分析：由频率分布直方图得，速度在以下的汽车所占频率为，则速度在以下的汽车有辆考点：频率分布直方图4.运行如图所示的伪代码，则输出的结果为 【答案】9【解析】试题分析：第一次循环，,第二
2、次循环，第三次循环，第四次循环，则考点：循环结构流程图5.函数的部分图像如图所示，若，则的值为 【答案】【解析】试题分析：,解得考点：三角函数图像与性质6.若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率为 【答案】【解析】试题分析：随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，共有6种不同的安排方法，其中丙在第一天的安排方法有两种，则甲与丙都不在第一天的概率为考点：古典概型概率7.抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为 【答案】考点：双曲线渐近线8.已知矩形的边，若沿对角线折叠，使得平面平面,则三棱锥的体积为 【答案】【解析】试题分析：因为平面平面,所以D到直线
3、BC距离为三棱柱的高，考点：三棱锥体积9.若公比不为1的等比数列满足，等差数列满足，则的值为 【答案】26【解析】试题分析：由得，考点：等差与等比数列性质10.定义在上的奇函数满足当时，（，为常数），若，则的值为 【答案】4【解析】试题分析：由“定义在上的奇函数”，得，考点：函数性质11.已知，且，若点满足，则的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则,令,则点的运动轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，而，则的取值范围为考点：向量数量积，动点轨迹12.已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：由题意得对
4、任意总成立，即对任意总成立，而，当且仅当时取“=”，则实数的取值范围是考点：基本不等式求最值13.已知，点是直线上的动点，若恒成立，则最小正整数的值为 【答案】4【解析】试题分析：，化简得对任意总成立，则化简得，解得或，因此最小正整数的值为4。考点：不等式恒成立14.设是正实数，满足，则的最小值为 【答案】【解析】试题分析：，令当且仅当时取“=”， 则的最小值为考点：基本不等式求最值二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.在锐角三角形中，角的对边为，已知，（1）求； （2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由得，利用两角差的正
5、切公式求，因此先求，这可由同角三角函数关系求：由，A为锐角，得， ，从而（2）已知三角一边求一边，应用正弦定理，所以关键转化为利用同角三角函数关系求及由两角和的正弦公式求.试题解析：（1）在锐角三角形中，由，得， 2分所以.4分由，得. 7分（2）在锐角三角形中，由，得，9分所以，11分由正弦定理，得. 14分考点：两角差的正切公式，两角和的正弦公式，正弦定理，同角三角函数关系16.如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面,点为棱的中点，求证：（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理进行论证，即从线线平行出发，
6、而线线平行的证明一般从平面几何条件寻求，本题利用中位线性质得PBOE（2）面面垂直的证明，一般利用线面垂直给予证明，即需证明CD平面PAD而线面垂直的证明，需多次利用线面垂直的判定及性质定理进行转化论证：先由PA平面PDC转化为线线垂直PACD，再由ADCD，转化为线面垂直CD平面PAD试题解析：(1) 连接BD与AC相交于点O，连结OE2分因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点因为E为棱PD中点，所以PBOE4分因为PB平面EAC，OE平面EAC，所以直线PB平面EAC6分 (2) 因为PA平面PDC，CD平面PDC，所以 PACD 8分因为四边形ABCD为矩形，所以ADCD10分因为
7、PAADA，PA，AD平面PAD，所以 CD平面PAD12分因为CD平面ABCD，所以 平面PAD平面ABCD 14分OPABCDE考点：线面平行判定定理，线面垂直的判定及性质定理17.如图，是南北方向的一条公路，是北偏东方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线为方便游客光，拟过曲线上的某点分别修建与公路,垂直的两条道路，且的造价分别为万元/百米，万元/百米，建立如图所示的直角坐标系，则曲线符合函数模型，设，修建两条道路的总造价为万元，题中所涉及的长度单位均为百米.（1）求解析式;（2）当为多少时，总造价最低？并求出最低造价【答案】（1）（2）当时，总造价最低，最低造价为30万元 (2) 因为
8、，所以 ， 10分令，得，列表如下：单调递减极小值单调递增所以当时，函数有最小值，最小值为13分答：（1）两条道路PM ,PN总造价为；（2）当时，总造价最低，最低造价为30万元 14分（注：利用三次均值不等式，当且仅当，即时等号成立，照样给分）考点：函数实际问题，利用导数求函数最值18.已知各项均为正数的数列的首项，是数列的前n项和，且满足：.（1）若，成等比数列，求实数的值;（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）因为，成等比数列，所以，因此由分别求出，代入化简得（2）当时，变形构造成一个特殊数列是本题关键及难点：，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，解得，再利用与关系
9、得到数列递推关系，即数列是首项为是常数列，所以.因此试题解析：（1）令，得令，得，所以2分由，得，因为，所以4分（2）当时，所以，即，6分所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 所以， 8分即，当时，得，10分即，所以， 12分所以是首项为是常数列，所以. 14分代入得. 16分考点：构造数列求通项，利用与关系求通项19.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点.（1）求椭圆的方程;（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由;（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.【答案】（1）（2）
10、（3）【解析】试题分析：（1）确定椭圆标准方程，只需两个独立条件即可：一个是左顶点为，所以，另一个是，所以，（2）实质利用斜率k表示点，P，E，假设存在定点，使得，因此，即恒成立，从而即（3）利用斜率k表示点M，因此，本题思路简单，但运算量较大.试题解析：（1）因为左顶点为，所以，又，所以.2分又因为，所以椭圆C的标准方程为. 4分（2）直线的方程为，由消元得，.化简得，所以，. 6分当时，所以.因为点为的中点，所以的坐标为，则.8分直线的方程为，令，得点坐标为，假设存在定点，使得，则，即恒成立，所以恒成立，所以即因此定点的坐标为. 10分（3）因为，所以的方程可设为，由得点的横坐标为，12分
11、由，得 14分，当且仅当即时取等号，所以当时，的最小值为 16分考点：直线与椭圆位置关系20.已知函数，其中，为自然对数的底数（1）若函数的图像在处的切线与直线垂直，求的值（2）关于的不等式在上恒成立，求的取值范围（3）讨论极值点的个数【答案】（1）（2）（3）当时，有且仅有一个极值点，当时，有三个极值点【解析】试题分析：（1）利用导数几何意义得，而，因此（2）不等式恒成立问题，一般利用变量分离，转化为对应函数最值：，因此（3）先求函数导数：，这是一个三次函数与指数函数的乘积，因此导函数的零点为一个或三个，即只有一个极值点或有三个极值点.再分类讨论：当与x轴有且仅有一个交点时，分两种情形，一是
12、为单调递增函数（无极值），二是极值同号当与x轴有且仅有三个交点时，极值异号试题解析：(1) 由题意， 2分因为的图象在处的切线与直线垂直，所以，解得. 4分 (2) 法一：由，得，即对任意恒成立，6分即对任意恒成立，因为，所以， 8分记，因为在上单调递增，且，所以，即的取值范围是 10分法二：由，得，即在上恒成立，6分因为等价于，当时，恒成立，所以原不等式的解集为，满足题意 8分当时，记，有，所以方程必有两个根，且，原不等式等价于，解集为，与题设矛盾，所以不符合题意综合可知，所求的取值范围是10分(3) 因为由题意，可得，所以只有一个极值点或有三个极值点. 11分令，若有且只有一个极值点，所以
13、函数的图象必穿过x轴且只穿过一次，即为单调递增函数或者极值同号 ）当为单调递增函数时，在上恒成立，得12分）当极值同号时，设为极值点，则，由有解，得，且，所以，所以 ，同理， 所以，化简得，所以，即，所以所以，当时，有且仅有一个极值点； 14分若有三个极值点，所以函数的图象必穿过x轴且穿过三次，同理可得；综上，当时，有且仅有一个极值点，当时，有三个极值点 16分考点：利用导数求函数最值，利用导数研究函数极值附加题21.A（本小题满分10分）如图，是直角，圆与射线相切于点，与射线相交于两点求证：平分【答案】详见解析【解析】试题分析：由是切线，是直角得，因此半径 得，因此， 即平分试题解析：连结因
14、为是切线，所以2分又因为是直角，即，所以，所以 5分又，所以， 8分所以， 即平分 10分考点：平行线内错角相等21.B（本小题满分10分）已知矩阵，求矩阵的特征值和特征向量【答案】属于特征值的一个特征向量属于特征值的一个特征向量【解析】试题分析：由特征多项式为=0解得两个特征值，.再代入得对应特征方程组，因此属于特征值的一个特征向量，属于特征值的一个特征向量试题解析：矩阵的特征多项式为， 2分由，解得，. 4分当时，特征方程组为故属于特征值的一个特征向量；7分当时，特征方程组为故属于特征值的一个特征向量 10分考点：特征值及特征向量21.C （本小题满分10分）在极坐标系中，圆的极坐标方程为
15、，已知，为圆上一点，求面积的最小值【答案】考点：极坐标方程化为直角坐标方程21.D（本小题满分10分）设均为正数，且，求证：【答案】详见解析【解析】试题分析：作差再利用均值不等式得=试题解析：因为x0，y0，xy0，4分=， 8分所以 10分考点：均值不等式22.如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，点是棱上一点，满足（1）若，求直线与平面所成角的正弦值；（2）若二面角的正弦值为，求的值【答案】（1）（2）的值为【解析】试题分析：（1）利用空间向量求线面角，先建立恰当的空间直角坐标系，设出各点坐标，从而有，再利用方程组求出平面的一个法向量，根据向量数量积求两向量夹角余弦值，最后根据线面角与向量
16、夹角的关系得结论（2）同上利用方程组求出平面的法向量，再根据向量数量积求两向量夹角余弦值，根据二面角与向量夹角的关系得等量关系，解出试题解析：以为坐标原点，分别以，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系因为，则，1分（1）由得，设平面的法向量为，由得不妨取，则， 从而平面的一个法向量为3分设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成的角的正弦值为5分（2）设平面的法向量为， ，由得不妨取，则， 所以平面的法向量为7分则，又因为二面角的正弦值为，所以，9分化简得，解得或（舍去），故的值为 10分考点：利用空间向量求线面角，利用空间向量研究二面角，23.已知数列满足，（1）求证：；（2）求证：当时，【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）由题意得，因此（2）利用数学归纳法证明，先找出与相互关系： ，再根据递减放缩得，最后通分化简得试题解析：（1）由题意知，,， 1分当时， 2分 （2）用数学归纳法加以证明： 当时， 所以当时，结论成立4分假设当时，结论成立，即， 则时， 6分 ，由可知，即所以当时，结论也成立综合可得，当时， 10分考点：数学归纳法
