1、第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式本节主要包括2个知识点：1.同角三角函数的基本关系；2.三角函数的诱导公式.突破点(一)同角三角函数的基本关系基础联通抓主干知识的“源”与“流”1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：_(2)商数关系：_.sin2cos21(R)tan sin cos k2，kZ2同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tan sin cos 化成正弦、余弦，或者利用公式sin cos tan 化成正切表达式中含有sin，cos 与tan“1”的变换1sin2cos2cos2(1tan2)(sin cos)22sin cos tan4表达式中需
2、要利用“1”转化和积转换利用关系式(sin cos)212sin cos 进行变形、转化表达式中含有sin cos 或sin cos 考点贯通抓高考命题的“形”与“神”化简求值例1(2017南京模拟)已知为第二象限角，则cos 1tan2sin 11tan2_.解析 原式cos sin2cos2cos2sin sin2cos2sin2cos 1|cos|sin 1|sin|，因为是第二象限角，所以sin 0,cos 0，所以cos 1|cos|sin 1|sin|110，即原式等于0.答案 0条件求值例 2 若 tan 2，则(1)2sin 3cos 4sin 9cos _；解析 2sin 3
3、cos 4sin 9cos 2tan 34tan 92234291.答案 1 解析 4sin23sin cos 5cos24sin23sin cos 5cos2sin2cos24tan23tan 5tan2144325411.答案 1(2)4sin23sin cos 5cos2_.方法技巧同角三角函数关系式应用的注意事项(1)同角并不拘泥于角的形式，如sin2 2 cos2 2 1，sin 3xcos 3x tan 3x 3xk2，kZ 都成立，但是sin2cos21就不一定成立(2)对于含有sin，cos 的齐次式，可根据同角三角函数商的关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化
4、弦为切，整体代入sin cos 与sin cos 关系的应用例 3 已知 x(，0)，sin xcos x15.(1)求 sin xcos x 的值；解 由 sin xcos x15，平方得 sin2x2sin xcos xcos2x 125，整理得 2sin xcos x2425.(sin xcos x)212sin xcos x4925.由 x(，0)，知 sin x0，cos x0，则 sin xcos x0，故 sin xcos x75.解 sin 2x2sin2x1tan x2sin xcos xsin x1sin xcos x2sin xcos xcos xsin xcos xsi
5、n x24251575 24175.(2)求sin 2x2sin2x1tan x的值方法技巧同角三角函数关系式的方程思想对于sin cos，sin cos，sin cos 这三个式子，知一可求二，转化公式为(sin cos)212sin cos，体现了方程思想的应用 能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.若 sin 513，且 为第四象限角，则 tan 的值等于()A.125 B125C.512 D 512解析：因为为第四象限角，故cos 1sin21 51321213，所以tan sin cos 5131213 512.答案：D 考点二2(2017厦门质检)已知 sin cos 18，且54
6、 32，则cos sin 的值为()A 32B.32C34D34解析：54 32，cos 0，sin 0且|cos|0.又(cos sin)212sin cos 121834，cos sin 32.答案：B 考点三3考点二已知sin 2cos 3，则tan()A 22B 2 C 22 D 2解析：sin 2cos 3，(sin 2cos)23，即sin22 2sin cos 2cos23，sin22 2sin cos 2cos2sin2cos23，tan22 2tan 2tan213，即2tan22 2tan 10，解得tan 22.答案：A4.考点一sin21sin22sin289_.解析：
7、原式(sin21sin289)(sin22sin288)(sin244sin246)sin245(sin21cos21)(sin22cos22)(sin244cos244)12124412.答案：44125.已知 tan 43，求：(1)sin 4cos 5sin 2cos 的值；(2)1cos2sin2的值；解：(1)sin 4cos 5sin 2cos tan 45tan 2434543 287.(2)1cos2sin2 sin2cos2cos2sin2 sin2cos2cos2cos2sin2cos2 tan211tan2 43211432257.考点二、三解：sin22sin cos
8、sin22sin cos sin2cos2tan22tan tan21169 83169 1 825.(3)sin22sin cos 的值突破点(二)三角函数的诱导公式基础联通抓主干知识的“源”与“流”1三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2k(kZ)22正弦_余弦正切sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos sin sin tan tan tan tan 2.特殊角的三角函数值角 030456090 120 150 180角 的弧度数064322356sin _22 _1_0cos _22_0_1tan _1_ _0 0123232121321212 3
9、20333 3 33考点贯通抓高考命题的“形”与“神”诱导公式的应用1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”2利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值典例(1)若 sin 是方程 5x27x60 的根，则sin32 sin32 tan22cos2 cos2 sin()A.35B.53 C.45D.54(2)求值：sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)_.解析(1)方程 5x27x60 的两根为 x135，x
10、22，则 sin 35.原式 cos cos tan2sin sin sin 1sin 53.答案 B解析 原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020sin 1 050 sin(3360 120)cos(3360 210)cos(2360300)sin(2360330)sin 120cos 210cos 300sin 330 sin(180 60)cos(180 30)cos(360 60)sin(36030)sin 60cos 30cos 60sin 30 32 32 12121.答案 1(2)求值：sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050
11、)_.方法技巧应用诱导公式化简求值的注意事项(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用(2)对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错能力练通抓应用体验的“得”与“失”1已知 sin52 15，那么 cos()A25 B15 C.15D.25解析：sin52 sin2 cos，cos 15.答案：C 2sin 210cos 120的值为()A.14 B 34 C32D.34解析：sin
12、 210cos 120sin 30(cos 60)1212 14.答案：A3已知A sinksin coskcos(kZ)，则A的值构成的集合是()A1，1,2，2 B1,1 C2，2 D1，1,0,2，2解析：k为偶数时，Asin sin cos cos 2；k为奇数时，Asin sin cos cos 2.则A的值构成的集合为2，2答案：C 4已知tan6 33，则tan56 _.解析：tan 56 tan 6 tan 6 tan6 33.答案：335已知 为第三象限角，f()sin2 cos32 tantansin.(1)化简 f()；(2)若 cos32 15，求 f()的值解：(1)
13、f()sin2 cos32 tantansincos sin tan tan sin cos.解：cos32 15，sin 15，从而 sin 15.又 为第三象限角，cos 1sin22 65，f()cos 2 65.(2)若 cos32 15，求 f()的值全国卷5年真题集中演练明规律1(2016全国丙卷)若tan 34，则cos22sin 2()A6425B4825C1 D1625解析：因为tan 34，则cos22sin 2cos24sin cos sin2cos214tan tan21 143434216425.故选A.答案：A 2(2016全国乙卷)已知是第四象限角，且sin 4 35，则tan4 _.解析：由题意知sin4 35，是第四象限角，所以cos4 0，所以cos4 1sin24 45.则tan4 tan42sin24cos24cos4sin4455343.答案：43