1、第15讲等腰三角形重难点等腰(边)三角形的性质与判定(2022滨州)如图，在ABC中，ABAC，D为BC上一点，且DADC，BDBA，则B的大小为(B)A40 B36 C30 D25【思路点拨】设Bx，则利用等边对等角得Cx，DACCx，利用三角形外角的性质，得ADB2x，再次利用等边对等角得BAD 2x，最后利用三角形内角和等于180，列方程求得B的度数在等腰三角形中求角的度数，常常考虑用“等边对等角”，通过相等边的代换，得到不同角的数量关系，最后一般用三角形内角和定理或其推论，得到所求的角度的等量关系，进而列出方程求解如图，在ABC中，AM平分BAC，D为AC的中点，连接BD，MD，AM与
2、BD交于点O.(1)若ABC是等腰三角形，ABAC，求证：DMC是等腰三角形；【自主解答】证明：方法一：ABAC，AM平分BAC，AMBC，即AMC90.又D为AC中点，DMACDC.DMC是等腰三角形方法二：ABAC，AM平分BAC，M为BC的中点又D为AC的中点，DMABACDC.DMC是等腰三角形【变式提问】(2)如图，若ABC是等边三角形，试判断CDM的形状，并求出当AO12时，OM的长度解：由(1)知，CDM为等腰三角形ABC是等边三角形，C60.CDM是等边三角形易知DM是ABC的中位线，DMAB，AOBMOD.2.AO2OM.AO12，OM6.【思路点拨】(1)利用等腰三角形“三
3、线合一”，结合直角三角形斜边上的中线性质或三角形中位线定理证得三角形的两边相等，即得等腰三角形；(2)由等边三角形的每个内角为60，结合第(1)问中证得的等腰三角形，得等边三角形；利用三角形中位线定理，结合相似三角形对应边成比例，求得线段的长度【变式训练】(2022内江改编)如图，AD平分BAC，ADBD，垂足为D，DEAC.求证：BDE是等腰三角形证明：DEAC，13.AD平分BAC，12.23.ADBD，2B90，3BDE90.BBDE.BDE是等腰三角形1.在等腰三角形中，已知顶角的平分线，则可得到底边的中线和高，即可得到垂直和中点，再利用这些条件，寻找所要求证的边或角的关系2要证明一个
4、三角形是等边三角形，可考虑：(1)直接证明三条边相等；(2)证明三个角相等；(3)先证明是等腰三角形，再证明含有60的角3等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据一般情况下，在同一个三角形中，要证边相等，先证角相等；要证角相等，先证边相等考点1等腰三角形的性质1(2022新疆)如图，ABCD，点E在线段BC上，CDCE.若ABC30，则D为(B)A85 B75 C60 D302如图，在ABC中，ABAC，AD是ABC的角平分线若AB13，AD12，则BC的长为(B)A5 B10 C20 D243(2022安顺)一个等腰三角形的两条边
5、长分别是方程x27x100的两根，则该等腰三角形的周长为(A)A12 B9 C13 D12或94(2022黄冈)如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，B60，C25，则BAD为(B)A50 B70 C75 D805(2022湖州)如图，AD，CE分别是ABC的中线和角平分线若ABAC，CAD20，则ACE的度数是(B)A20 B35 C40 D706(2022荆州)如图，两条直线l1l2，在RtABC中，C90，ACBC，顶点A，B分别在l1和l2上，120，则2的度数是(C)A45 B55 C65 D757(2022成都)等腰三角形的一个底角为50，则它的顶
6、角的度数为808(2022遵义)如图，在ABC中，点D在BC边上，BDADAC，E为CD的中点若CAE16，则B为37考点2等腰三角形的判定9在ABC中，其两个内角的度数如下，则能判定ABC为等腰三角形的是(C)AA40，B50BA40，B60CA20，B80DA40，B8010(2022桂林)如图，在ABC中，A36，ABAC，BD平分ABC，则图中等腰三角形的个数是3考点3等边三角形的性质11如图，在等边三角形ABC中，AB2，点D为BC的中点，DEAB交AC于点E，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F，则图中长度为1的线段有(D)A3条 B4条 C5条 D6条12(2022泰州)如图，
7、已知直线l1l2，将等边三角形如图放置若40，则等于2013(人教八上教材P82T7变式题)如图，在ABC中，CABC，BEAC，BDE是正三角形求C的度数解：BDE是正三角形，DBE60.BEAC，BEC90.CABCABEEBC，EBCABC60C60.EBCC90，即C60C90，C75.考点4等边三角形的判定14(人教八上教材P82T6变式题)如图，ABAC，BAC120，ADAC，AEAB.(1)求C的度数；(2)求证：ADE是等边三角形解：(1)ABAC，BAC120，BC30.(2)证明：BC30，ADAC，AEAB，DACEAB90.ADCAEB60.ADCAEBEAD60.A
8、DE是等边三角形15(2022达州)如图，ABC的周长为19，点D，E在边BC上，ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，ACB的平分线垂直于AD，垂足为M.若BC7，则MN的长为(C)A. B2 C. D316(易错易混)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25，则顶角的度数为115或6517(人教八上教材P83T10变式题)如图1，在ABC中，B，C的平分线相交于点O，过点O作EFBC分别交AB，AC于点E，F.(1)EF与BE，CF之间有什么关系？(2)如图2，若在ABC中，B的平分线与三角形外角ACD的平分线相交于点O，过点O作OEBC交AB于点E，交AC于点F，EF与BE，CF之间又有怎
9、样的数量关系，并给予证明图1 图2解：(1)BO平分ABC，EBOOBC.EFBC，EOBOBC.EOBEBO.OEBE.同理CFOF.EFOEOFBECF.(2)EFBECF.证明：BO平分ABC，EBOCBO.OEBC，EOBCBO.EOBEBO.BEOE.同理CFOF.EFOEOFBECF.18(人教八上教材P93T13变式题)等边ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AEBD.(1)当点E为AB的中点时，如图1，求证：ECED；(2)当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EFBC，求证：AEF是等边三角形；(3)在(2)的条件下，EC与ED还相等吗？请说明理由解：(1)证明：ABC为等边三角形，ABCACBA60.点E为AB的中点，AEEBBD，ECBACB30.EDBDEBABC30.EDBECB.ECED.(2)证明：EFBC，AEFABC60，AFEACB60.AEF为等边三角形(3)ECED.理由：AEF为等边三角形，AEAFEFBD.AFEABC60，EFCDBE120.ABAC，AEAF，ABAEACAF，即BEFC.在DBE和EFC中，DBEEFC(SAS)EDCE.6
