1、高考资源网（） 您身边的高考专家江西省赣州市2012届上学期高三期末考试数学（理科）试题 2012年元月本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷1至2页，第卷3至4页.共150分.考试时间120分钟.第卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.A. B.C. D.2.已知全集，则集合A. B. C. D.3.若，则的定义域为A. B. C. D.4.一个简单几何体的正视图、侧视图如图，则其俯视图不可能为： 长方形；正方形；圆；椭圆 其中正确的是 A. B. C. D.5.一个篮球运动员投篮一
2、次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为（、），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则的最大值为 A.B.C. D.6.已知点是椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，为的内心，若成立，则的值为A. B. C. D.7.若的展开式中常数项是A. B. C. D.高三数学（理科）试题 第1页（共4页）高三数学（理科）试题 第2页（共4页）8.函数，如下关于它的性质叙述正确的个数有是它的一个周期 它的值域直线是它的图象的一条对称轴它在上单调递增A. B. C. D.9.一个盒子内部有如图所示的六个小格子，现有桔子，苹果和香蕉各两个，将这六个水果随机放入这六个格子里，每个格子放
3、一个，放好之后每行、每列的水果种类各不相同的概率是A. B. C. D. 10.已知函数.那么对于任意的，函数的最大值与最小值分别为A. B. C. D.第卷(非选择题，共100分)二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.1,3,511.在如图所示的算法框图中，若输入，则输出 .12.若圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率是 . 13.由约束条件确定的可行域能被半径为的圆面完全覆盖，则实数的取值范围是 .14.已知，若 (均为实数)，类比以上等式可推测的值，则 . 三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按所做的第一题评阅计分.本题共5分.15.(不等式选做题)
4、不等式的解集为，则实数的取值范围是 .（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线与的交点的极坐标为_. 四、解答题：本大题共6小题，满分75分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知函数 （1）求函数的最小值和最小正周期；（2）已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值17（本小题满分12分）设为数列的前项和，对任意的，都有（为常数，且）（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比，数列满足 ，N，求数列的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求证：数列的前项和18.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，是的中点.（1）求二面角的平面
5、角的余弦值；（2）在棱上是否存在点，使平面，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.19. (本小题满分12分)高三数学（理科）试题 第3页（共4页）高三数学（理科）试题 第4页（共4页）某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，分别测出它们的高度如下（单位：cm）甲：19 20 21 23 25 29 32 33 37 41乙：10 26 30 30 34 37 44 46 46 47甲乙1234（1）用茎叶图表示上述两组数据，并对两块地抽取树苗的高度的平均数和中位数进行比较，写出两个统计结论；（2）现苗圃基地将甲、乙两块地的树苗合在一起
6、，按高度分成一、二两个等级，每个等级按不同的价格出售.某市绿化部门下属的2个单位计划购买甲、乙两地种植的树苗.已知每个单位购买每个等级树苗所需费用均为5万元，且每个单位对每个等级树苗买和不买的可能性各占一半，求该市绿化部门此次采购所需资金总额的分布列及数学期望值20. (本小题满分13分)若椭圆的左右焦点分别为，线段被抛物线的焦点内分成了的两段.（1）求椭圆的离心率；（2）过点的直线交椭圆于不同两点、，且，当的面积最大时，求直线和椭圆的方程.21. (本小题满分14分)已知函数（且）.（1）设，求函数的单调区间； （2）设函数的图象曲线与函数的图象交于的不同两点、，过线段的中点作轴的垂线分别交
7、 、于点、.证明：在处的切线与在处的切线不平行.赣州市20112012学年度第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案 2012年元月一、选择题15. BDACD； 610. ADCAD.二、填空题11.； 12.； 13.； 14.； 15.；.三、解答题16.解: （1） 的最小值为，最小正周期为5分（2） ， 即 ， ， 7分 与共线， 由正弦定理 ， 得 分 ，由余弦定理，得， 分解方程组，得1分17.解：（1）证明：当时， 解得1分当时，即2分为常数，且，3分数列是首项为1，公比为的等比数列4分高三数学（理科）答案 第1页（共8页）高三数学（理科）答案 第2页（共8页）（2）解：由（1
8、）得，5分6分，即7分是首项为，公差为1的等差数列8分，即（N）8分（3）证明：由（2）知，则 ， 当时， 12分18.解法一：（1）在直角梯形中，易证，又平面，平面，平面，在中，为的中点，则在中，为的中点，则2分取中点，中点，连，则平行等于,平行等于，是二面角的平面角4分又，6分（2）中点满足. 连结交于点平行等于，取中点，连结，则平行8分又平面，平面，平行平面，连，则，平面10分又，平面平面，又平面，平面12分解法二：如图建立空间直角坐标系，则，1分，设平面的一个法向量由，取，则，3分高三数学（理科）答案 第3页（共8页）高三数学（理科）答案 第4页（共8页）又，是平面的一个法向量，5分所
9、求二面角的余弦值为6分（2）存在，且为中点设9分依题意知，即为中点12分19.解：画出茎叶图如下：2分甲地树苗高度的平均数为，乙地树苗高度的平均数为，甲地树苗高度的平均数小于乙地树苗的高度的平均数4分甲地树苗高度的中位数为，乙地树苗高度的中位数为 ，甲地树苗高度的中位数小于乙地树苗的高度的中位数6分（2），设，则8分的分布列为0510152010分该市绿化部门此次采购的资金总额的数学期望值为10万元12分20.解：（1）由题意知，2分，3分5分（2）设直线,，即7分由（1）知，椭圆方程为由，消去得高三数学（理科）答案 第5页（共8页）高三数学（理科）答案 第6页（共8页）由知，9分11分当且仅
10、当，即时取等号，此时直线的方程为或12分又当时，由得椭圆方程为14分21.解：（1）函数的定义域是1分 由已知得，2分 当时, 令,解得; 令,解得. 函数在上单调递增，在上单调递减3分 当时， 当时，即时, 令,解得或; 令,解得. 函数在和上单调递增，在上单调递减4分 当时，即时, 显然，函数在上单调递增5分 当时，即时, 令，解得或; 令,解得. 函数在和上单调递增,在上单调递减6分综上所述，当时,函数在上单调递增,在上单调递减； 当时,函数在和上单调递增,在上单调递减； 当时,函数在上单调递增； 当时,函数在和上单调递增，在上单调递减7分 （2）设，且不妨设，则 由得：假设在M处的切线与C在N处的切线平线，则有 代入()化简可得：， 高三数学（理科）答案 第7页（共8页）高三数学（理科）答案 第8页（共8页） 即11分 设 ()，上式化为：, 即12分 令,. ,显然，在上递增, 显然有恒成立. 在内不存在，使得成立. 综上所述，假设不成立.在处的切线与在处的切线不平线1分选择题10.设，则所以直线与圆有公共点，从而有得于是，得得- 10 - 版权所有高考资源网
