1、 哈尔滨市第一中学校 2021-2022学年度上学期期末考试高三数学试卷(文科)出题人:高三数学备课组 审题人:王永文、高颖考试时间:120分钟 分值:150分第卷 选择题(60分)一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,满分60分)1已知集合,则( )ABCD2设,则“”是“”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3若,则( )ABCD4我国古代数学名著数书九章中有“米谷粒分”问题;“开仓受纳,有甲户米一千五百三十四石到廊验得米内夹谷,乃于样内取米一捻,数计二百五十四粒内有谷二十八颗,凡粒米率每勺三百,今欲知米内杂谷多少”,其大意是,粮仓开仓收粮,有人送来
2、米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )A153石B154石C169石D170石5已知向量若与垂直,则实数( )ABC1D36.已知数列的前项积为,且,则( )A-1B1C2D-27函数的部分图象大致为( )A B C D8设变量x,y满足约束条件则目标函数的最大值为( )A12B10C8D69圆关于直线对称,则的最小值是( )ABCD10如图,在四棱锥SABCD中,SA平面ABCD,四边形ABCD为平行四边形,ABC=60且SA=AB=BC=2,E为SA的中点,则异面直线SC与DE所成的角的余弦值为( )ABCD11某几何体的三视图如图所示
3、(图中小正方形的边长为),则该几何体的体积为( )ABCD12已知双曲线(,)的离心率为2,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,点,点P为线段MN上的动点,当取得最小值和最大值时,PF1F2的面积分别为S1,S2,则( )AB4CD8第卷 非选择题(90分)二、填空题(本题共4小题,每题5分,满分20分)13曲线在处的切线的倾斜角为,则_14已知斜率为的直线经过抛物线的焦点,并与抛物线交于,两点,且,则的值为_15已知两条不同的直线,两个不重合的平面,给出下面五个命题:,;,;,;,;,其中正确命题的序号是_(将所有正确命题的序号都填在横线上)16函数的图像是由函数()的图像向左平移个单位所得
4、,若函数在为单调函数,则的范围是_.三、综合题(本题共6小题,17-21题每题12分,22题10分,满分70分)17在锐角中,角的对边分别为a,b,c,.(1)求;(2)若,求的取值范围.18已知公差不为零的等差数列an满足a13,且a1,a4,a13成等比数列(1)求数列an的通项公式;(2)若Sn表示数列an的前n项和,求数列的前n项和Tn19在四棱锥中,平面平面,.(1)证明:平面;(2)求点到平面的距离.20已知椭圆的离心率,左右焦点分别为,点在椭圆S上,过的直线l交椭圆S于A,B两点.(1)求椭圆S标准方程;(2)求的面积的最大值.21已知函数(其中,)(1)若函数在定义域内单调递增
5、,求实数的取值范围;(2)若,且关于的方程(为的导函数)在区间上恰有两个不等的实根,求实数的取值范围22在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为,(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线经过点,且与极轴所成的角为.(1)求曲线的普通方程及直线的参数方程;(2)设直线与曲线交于两点,若,求直线的普通方程.高三文科数学期末考试解析一、单选题1已知集合,则( )ABCD【答案】C【详解】由已知,所以故选:C2设,则“”是“”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【详解】求解二次不等式可得:, 由可推出,由不能推出, 是的必要不充分条件.
6、故选:B.3若,则( )ABCD【答案】B【详解】解:,所以,故选:B4我国古代数学名著数书九章中有“米谷粒分”问题;“开仓受纳,有甲户米一千五百三十四石到廊验得米内夹谷,乃于样内取米一捻,数计二百五十四粒内有谷二十八颗,凡粒米率每勺三百,今欲知米内杂谷多少”,其大意是,粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )A153石B154石C169石D170石【答案】C【详解】这批米内夹谷约为石,根据题意可得解得 故选:C5已知向量若与垂直,则实数( )ABC1D3【答案】B【详解】因为,所以,因为与垂直,所以,解得.故选:B.6
7、.已知数列的前项积为,且,则( )A-1B1C2D-2【答案】A【详解】由题设,是周期为3的数列,又,且,.故选:A.7函数的部分图象大致为( )ABCD【答案】C【详解】解:根据题意,对于函数,有函数,即函数为奇函数,图象关于原点对称,故排除AB ;当时,则恒有,排除D;故选:C.8设变量x,y满足约束条件则目标函数的最大值为( )A12B10C8D6【答案】D【详解】作出可行域,如图内部(含边界),作直线,在直线中,表示直线的纵截距,因此直线向下平移时,增大,由 得,即平行直线,当它过点时,取得最大值6故选:D9圆关于直线对称,则的最小值是( )ABCD【答案】C【详解】由圆可得标准方程为
8、,因为圆关于直线对称,该直线经过圆心,即,当且仅当,即时取等号,故选:C.10如图,在四棱锥SABCD中,SA平面ABCD,四边形ABCD为平行四边形,ABC=60且SA=AB=BC=2,E为SA的中点,则异面直线SC与DE所成的角的余弦值为( )ABCD【答案】D【详解】如图所示:分别为的中点,连接各线段.则,故,得到平行四边形,故,故异面直线SC与DE所成的角,SA平面ABCD,故和均为直角三角形,根据余弦定理:.故选:D.11某几何体的三视图如图所示(图中小正方形的边长为),则该几何体的体积为( )ABCD【答案】C【详解】由三视图知,原几何体是棱长为的正方体中的三棱锥,且,由正方体的性
9、质可知:,三棱锥的底面上的高为,该几何体的体积为.故选:C.12已知双曲线(,)的离心率为2,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,点,点P为线段MN上的动点,当取得最小值和最大值时,PF1F2的面积分别为S1,S2,则( )AB4CD8【答案】B【详解】由于双曲线的离心率为,故.所以直线的方程为,设,焦点坐标为,则,则,由于,故当时取得最小值,此时;当时取得最大值,此时.则.故选:B.二、填空题13曲线在处的切线的倾斜角为,则_【答案】【详解】,当时,即切线斜率为3,则,则,所以.故答案为:.14已知斜率为的直线经过抛物线的焦点,并与抛物线交于,两点,且,则的值为_【答案】3【详解】抛物线的焦
10、点,根据题意,直线的方程为,与抛物线方程联立得,整理得,所以,所以,所以,15已知两条不同的直线,两个不重合的平面,给出下面五个命题:,;,;,;,;,其中正确命题的序号是_(将所有正确命题的序号都填在横线上)【答案】【详解】,正确;,或异面,错误;,或,错误;,正确;,正确.故答案为:.16函数的图像是由函数()的图像向左平移个单位所得,若函数在为单调函数,则的范围是_.【答案】【详解】是由(大于零)向左平移个单位所得,故,又在即上单调, ,,由或,或,综上,的范围为.故答案为:.三、解答题17在锐角中,角的对边分别为a,b,c,.(1)求;(2)若,求的取值范围.【答案】(1)(2)(1)
11、解:因为,所以,即,因为为锐角,所以,所以,又,所以;(2)解:在锐角中,所以,所以,所以,因为,所以所以,所以,又,所以,可得,所以,即的取值范围是18已知公差不为零的等差数列an满足a13,且a1,a4,a13成等比数列(1)求数列an的通项公式;(2)若Sn表示数列an的前n项和,求数列的前n项和Tn【答案】(1)an2n+1(2)Tn(1)由题意得:,设公差为,所以(3+3d)23(3+12d),解得d0(舍)或2,所以an3+2(n1)2n+1(2)由于(1)得an2n+1,则n2+2n,所以所以Tn=19在四棱锥中,平面平面,.(1)证明:平面;(2)求点到平面的距离.【答案】(1
12、)证明见解析;(2).(1)面面,面面,且,面,面,而面,.取的中点,连接,.且,四边形为矩形,则,又,又,面,面,面,.、面,面.(2)设点到平面的距离为,即,又,在中,则,综上,可得,即点到平面的距离为.20已知椭圆的离心率,左右焦点分别为,点在椭圆S上,过的直线l交椭圆S于A,B两点.(1)求椭圆S标准方程;(2)求的面积的最大值.【答案】(1)(2)(1)解:设椭圆S的半焦距为,由题意解得椭圆S的标准方程为;(2)解:由(1)得,设,代入,得,设,则,当且仅当即时,等号成立,故的面积的最大值为.21已知函数(其中,)(1)若函数在定义域内单调递增,求实数的取值范围;(2)若,且关于的方
13、程(为的导函数)在区间上恰有两个不等的实根,求实数的取值范围【答案】(1);(2)(1)函数的定义域是,()依题意在时恒成立,则在时恒成立,即(),当时,取最小值,所以的取值范围是.(2),由得,在上有两个不同的实根,设,时,时,得,则22在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为,(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线经过点,且与极轴所成的角为.(1)求曲线的普通方程及直线的参数方程;(2)设直线与曲线交于两点,若,求直线的普通方程.【答案】(1).(为参数).(2)或.【详解】(1)由参数方程得,所以曲线的普通方程为.设点的直角坐标为.则,.即,故直线的参数方程为(为参数).(2)将代入,得.设是方程的两个根,则,.所以.所以整理得或,所以直线的方程为或.18