1、 哈尔滨市第一中学校 2021-2022学年度上学期期末考试高三数学试卷（文科）出题人：高三数学备课组 审题人：王永文、高颖考试时间：120分钟 分值：150分第卷 选择题（60分）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合，则（ ）ABCD2设，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3若，则（ ）ABCD4我国古代数学名著数书九章中有“米谷粒分”问题；“开仓受纳，有甲户米一千五百三十四石到廊验得米内夹谷，乃于样内取米一捻，数计二百五十四粒内有谷二十八颗，凡粒米率每勺三百，今欲知米内杂谷多少”，其大意是，粮仓开仓收粮，有人送来
2、米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A153石B154石C169石D170石5已知向量若与垂直，则实数（ ）ABC1D36.已知数列的前项积为，且，则（ ）A-1B1C2D-27函数的部分图象大致为（ ）A B C D8设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）A12B10C8D69圆关于直线对称，则的最小值是（ ）ABCD10如图，在四棱锥SABCD中，SA平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，ABC=60且SA=AB=BC=2，E为SA的中点，则异面直线SC与DE所成的角的余弦值为（ ）ABCD11某几何体的三视图如图所示
3、（图中小正方形的边长为），则该几何体的体积为（ ）ABCD12已知双曲线（，）的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点，点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，PF1F2的面积分别为S1，S2，则（ ）AB4CD8第卷 非选择题（90分）二、填空题（本题共4小题，每题5分，满分20分）13曲线在处的切线的倾斜角为，则_14已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，并与抛物线交于，两点，且，则的值为_15已知两条不同的直线，两个不重合的平面，给出下面五个命题：，；，；，；，；，其中正确命题的序号是_（将所有正确命题的序号都填在横线上）16函数的图像是由函数()的图像向左平移个单位所得
4、，若函数在为单调函数，则的范围是_.三、综合题（本题共6小题，17-21题每题12分，22题10分，满分70分）17在锐角中，角的对边分别为a，b，c，.（1）求；（2）若，求的取值范围.18已知公差不为零的等差数列an满足a13，且a1，a4，a13成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若Sn表示数列an的前n项和，求数列的前n项和Tn19在四棱锥中，平面平面，.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.20已知椭圆的离心率，左右焦点分别为，点在椭圆S上，过的直线l交椭圆S于A，B两点.（1）求椭圆S标准方程；（2）求的面积的最大值.21已知函数（其中，）（1）若函数在定义域内单调递增
5、，求实数的取值范围；（2）若，且关于的方程(为的导函数)在区间上恰有两个不等的实根，求实数的取值范围22在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线经过点，且与极轴所成的角为.（1）求曲线的普通方程及直线的参数方程；（2）设直线与曲线交于两点，若，求直线的普通方程.高三文科数学期末考试解析一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【详解】由已知，所以故选：C2设，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【详解】求解二次不等式可得：， 由可推出，由不能推出， 是的必要不充分条件.
6、故选：B.3若，则（ ）ABCD【答案】B【详解】解：，所以，故选：B4我国古代数学名著数书九章中有“米谷粒分”问题；“开仓受纳，有甲户米一千五百三十四石到廊验得米内夹谷，乃于样内取米一捻，数计二百五十四粒内有谷二十八颗，凡粒米率每勺三百，今欲知米内杂谷多少”，其大意是，粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A153石B154石C169石D170石【答案】C【详解】这批米内夹谷约为石,根据题意可得解得 故选：C5已知向量若与垂直，则实数（ ）ABC1D3【答案】B【详解】因为，所以，因为与垂直，所以，解得.故选：B.6
7、.已知数列的前项积为，且，则（ ）A-1B1C2D-2【答案】A【详解】由题设，是周期为3的数列，又，且，.故选：A.7函数的部分图象大致为（ ）ABCD【答案】C【详解】解：根据题意，对于函数，有函数，即函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除AB ；当时，则恒有，排除D；故选：C.8设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）A12B10C8D6【答案】D【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，在直线中，表示直线的纵截距，因此直线向下平移时，增大，由 得，即平行直线，当它过点时，取得最大值6故选：D9圆关于直线对称，则的最小值是（ ）ABCD【答案】C【详解】由圆可得标准方程为
8、，因为圆关于直线对称，该直线经过圆心，即，当且仅当，即时取等号，故选：C.10如图，在四棱锥SABCD中，SA平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，ABC=60且SA=AB=BC=2，E为SA的中点，则异面直线SC与DE所成的角的余弦值为（ ）ABCD【答案】D【详解】如图所示：分别为的中点，连接各线段.则，故，得到平行四边形，故，故异面直线SC与DE所成的角，SA平面ABCD，故和均为直角三角形，根据余弦定理：.故选：D.11某几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为），则该几何体的体积为（ ）ABCD【答案】C【详解】由三视图知，原几何体是棱长为的正方体中的三棱锥，且，由正方体的性
9、质可知：，三棱锥的底面上的高为，该几何体的体积为.故选：C.12已知双曲线（，）的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点，点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，PF1F2的面积分别为S1，S2，则（ ）AB4CD8【答案】B【详解】由于双曲线的离心率为，故.所以直线的方程为，设，焦点坐标为，则，则，由于，故当时取得最小值，此时；当时取得最大值，此时.则.故选：B.二、填空题13曲线在处的切线的倾斜角为，则_【答案】【详解】，当时，即切线斜率为3，则，则，所以.故答案为：.14已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，并与抛物线交于，两点，且，则的值为_【答案】3【详解】抛物线的焦
10、点，根据题意，直线的方程为，与抛物线方程联立得，整理得，所以，所以，所以，15已知两条不同的直线，两个不重合的平面，给出下面五个命题：，；，；，；，；，其中正确命题的序号是_（将所有正确命题的序号都填在横线上）【答案】【详解】，正确；，或异面，错误；，或，错误；，正确；，正确.故答案为：.16函数的图像是由函数()的图像向左平移个单位所得，若函数在为单调函数，则的范围是_.【答案】【详解】是由（大于零）向左平移个单位所得，故，又在即上单调， ,，由或，或，综上，的范围为.故答案为：.三、解答题17在锐角中，角的对边分别为a，b，c，.（1）求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）（1）
11、解：因为，所以，即，因为为锐角，所以，所以，又，所以；（2）解：在锐角中，所以，所以，所以，因为，所以所以，所以，又，所以，可得，所以，即的取值范围是18已知公差不为零的等差数列an满足a13，且a1，a4，a13成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若Sn表示数列an的前n项和，求数列的前n项和Tn【答案】（1）an2n+1（2）Tn（1）由题意得：，设公差为，所以（3+3d）23（3+12d），解得d0（舍）或2，所以an3+2（n1）2n+1（2）由于（1）得an2n+1，则n2+2n，所以所以Tn=19在四棱锥中，平面平面，.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1
12、）证明见解析；（2）.（1）面面，面面，且，面，面，而面，.取的中点，连接，.且，四边形为矩形，则，又，又，面，面，面，.、面，面.（2）设点到平面的距离为，即，又，在中，则，综上，可得，即点到平面的距离为.20已知椭圆的离心率，左右焦点分别为，点在椭圆S上，过的直线l交椭圆S于A，B两点.（1）求椭圆S标准方程；（2）求的面积的最大值.【答案】（1）（2）（1）解：设椭圆S的半焦距为，由题意解得椭圆S的标准方程为；（2）解：由（1）得，设，代入，得，设，则，当且仅当即时，等号成立，故的面积的最大值为.21已知函数（其中，）（1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；（2）若，且关于的方
13、程(为的导函数)在区间上恰有两个不等的实根，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）（1）函数的定义域是，（）依题意在时恒成立，则在时恒成立，即（），当时，取最小值，所以的取值范围是.（2），由得，在上有两个不同的实根，设，时，时，得，则22在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线经过点，且与极轴所成的角为.（1）求曲线的普通方程及直线的参数方程；（2）设直线与曲线交于两点，若，求直线的普通方程.【答案】（1）.（为参数）.（2）或.【详解】（1）由参数方程得，所以曲线的普通方程为.设点的直角坐标为.则，.即，故直线的参数方程为（为参数）.（2）将代入，得.设是方程的两个根，则，.所以.所以整理得或，所以直线的方程为或.18