1、第二篇 函数、导数及其应用(必修1、选修2-2)第 2 节 函数的单调性与最值 最新考纲1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.返回导航返回导航【教材导读】1由增减函数的定义，判断并证明一个函数在某一区间上具有单调性的步骤有哪些？提示：取值作差变形判号定论2若函数 f(x)在区间 C 和区间 D 上都是增(减)函数，则函数 f(x)在区间CD 上是增(减)函数吗？返回导航提示：不一定如 f(x)1x，在区间(，0)及(0，)上都是减函数，但在(，0)(0，)上不是减函数，如取 x11，x21，x1f(x2)不成立3当一个函数的增区间(或减区间)有多个时，能否用“”将函数的单调增区间(减
2、区间)连接起来？返回导航提示：不能直接用“”将它们连接起来，例如：函数 yx33x 的单调增区间有两个：(，1)和(1，)，不能写成(，1)(1，)4函数一定存在值域，那么它一定存在最值吗？返回导航提示：对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数 yx3.如果函数有最值，其最值一定是值域中的一个元素1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2当 x1x2时，都有_，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数当 x1x2 时，都有_，那么就说函数 f(x)在区间 D
3、 上是减函数返回导航f(x1)f(x2)图象描述自左向右看图象是_自左向右看图象是_返回导航上升的下降的(2)单调区间的定义如果函数 yf(x)在区间 D 上是_或减函数，那么就说函数 yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，_叫做函数 yf(x)的单调区间返回导航增函数区间D2函数的最值前提一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足条件(1)对于任意的 xI，都有_；(2)存在 x0I，使得_.(3)对于任意的 xI，都有_；(4)存在 x0I，使得_.结论M 为最大值M 为最小值返回导航f(x)Mf(x)Mf(x0)Mf(x0)M【重要结论】1“对勾函数”yxax(
4、a0)的增区间为(，a和 a，)；减区间为 a，0)和(0，a，且对勾函数为奇函数2设任意 x1，x2a，b，且 x10f(x)在a，b上是增函数；fx1fx2x1x2 0f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是减函数返回导航3若函数 f(x)在闭区间a，b上是增函数，则 f(x)minf(a)，f(x)maxf(b)；若函数 f(x)在闭区间a，b上是减函数，则 f(x)minf(b)，f(x)maxf(a)返回导航1下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()(A)y3x(B)y1x(C)yx24 (D)y|x|返回导航D 解析：结合函数的图象易
5、知选 D.2函数 y|x|(1x)在区间 A 上是增函数，那么区间 A 是()(A)(，0)(B)0，12(C)0，)(D)12，返回导航返回导航3.给出下列命题：函数 f(x)的图象如图所示，则函数 f(x)的单调增区间是(，0(0，)若定义在 R 上的函数 f(x)，有 f(1)0，则函数 f(x)在 D 上是增函数闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到其中正确的是()(A)(B)(C)(D)返回导航D 解析：错误函数的单调递增区间应为(，0和(0，)错误对 R 上的特殊的13，有 f(1)0，则 x1x2 时，f(x1)f(x2)；x1x2 时，f(x1)f(x2)正确若函数在闭
6、区间上单调，则其图象的最高、最低点一定在端点，即最值在端点处取到返回导航4“m1”是“函数 f(x)3xm3 3在区间1，)无零点”的()(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件返回导航A 解析：函数 f(x)3xm3 3在区间1，)上是增函数，若在1，)无零点，则 3xm3 3，即 m132，解得 m12，故“m1”是“函数 f(x)3xm3 3”在区间1，)无零点的充分不必要条件，故选 A.返回导航5若函数 f(x)4x2mx5 在2，)上递增，在(，2上递减，则 f(1)_.返回导航解析：依题意，知函数图象的对称轴为 xm8 m82，即 m16，
7、从而 f(x)4x216x5，f(1)416525.答案：25返回导航考点一 函数单调性的判断 已知 f(x)xxa(xa)(1)若 a2，试证明 f(x)在(，2)内单调递增；(2)若 a0 且 f(x)在(1，)单调递减，求 a 的取值范围返回导航【反思归纳】判断函数单调性的方法(1)定义法：取值，作差，变形，定号，判断(2)利用复合函数关系：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”(3)图象法：从左往右看，图象逐渐上升，单调递增；图象逐渐下降，单调递减(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调
8、性返回导航【即时训练】(2015 上海高考改编)判断并证明函数 f(x)ax21x(其中 1a3)在 x1,2上的单调性返回导航解析：设 1x1x22，则f(x2)f(x1)ax221x2ax211x1(x2x1)ax1x2 1x1x2，由 1x1x22，得 x2x10,2x1x24，1x1x24，1 1x1x214，又因为 1a3，所以 2a(x1x2)12，得 a(x1x2)1x1x20，从而 f(x2)f(x1)0，即 f(x2)f(x1)，故当 a(1,3)时，f(x)在1,2上单调递增返回导航考点二 求函数的单调区间(1)函数 f(x)log12(x24)的单调递增区间为()(A)(
9、0，)(B)(，0)(C)(2，)(D)(，2)返回导航(2)函数 yf(x)(xR)的图象如图所示，则函数 g(x)f(logax)(0a1)的单调减区间是()(A)0，12(B)a，1(C)(，0)12，(D)a，a1返回导航解析：(1)要使 f(x)单调递增，需有x240，x0，解得 x2.(2)由图象知 f(x)在(，0和12，上单调递减，而在0，12 上单调递增又 0a1 时，ylogax 为(0，)上的减函数，所以要使 g(x)f(logax)单调递减，需要 logax0，12，即 0logax12，解得 x a，1故选 B.返回导航答案：(1)D(2)B【反思归纳】求函数单调区间
10、的常见方法1求函数的单调区间与确定单调性的方法一致(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间返回导航2求复合函数f(g(x)的单调区间的步骤：确定函数的定义域将复合函数分解成基本初等函数 yf(u)，ug(x)分别确定这两个函数的单调区间若这两个函数同增同减，则 yf(g(x)为增函数；若一增一减，则yf(g(x)为减函数，即“同增异减”返回导航提醒：单调区间只能用
11、区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结【即时训练】(1)函数 f(x)的定义域为xR|x1，对定义域内任意的 x，都有 f(2x)f(x)，且当 x1 时，f(x)2x2x，那么当 x1 时，f(x)的递增区间是()(A)54，(B)1，54(C)74，(D)1，74(2)求函数 y x2x6的单调区间返回导航(1)C 解析：f(2x)f(x)，x1 是对称轴，当 x1 时的减区间为，14，当 x1 时的增区间为，14 关于 x1 的对称区间为74，.(2)解析：令 ux2x6，y x2x6可以看作是 y u与 ux2x6 的复合
12、函数由 ux2x60，得 x3 或 x2.ux2x6 在(，3上是减函数，在2，)上是增函数，而 y u在0，)上是增函数，y x2x6的单调减区间为(，3，单调增区间为2，)返回导航考点三 函数单调性的应用考查角度 1：求函数的值域或最值 函数 y 164x的值域是()A0，)B0,4C0,4)D(0,4)返回导航解析：y 164x在定义域内是减函数，且 4x00164x16，函数 y 164x的值域是0,4)返回导航答案：C【反思归纳】利用单调性求最值，一般先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值考查角度 2：比较函数值的大小 已知函数 f(x)log2x 11x，若 x1(1,2)，x
13、2(2，)，则()(A)f(x1)0，f(x2)0 (B)f(x1)0，f(x2)0(C)f(x1)0，f(x2)0 (D)f(x1)0，f(x2)0返回导航答案：B【反思归纳】比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性求解考查角度 3：利用函数的单调性解决不等式问题 f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足 f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，当 f(x)f(x8)2 时，x 的取值范围是()(A)(8，)(B)(8,9(C)8,9 (D)(0,8)返回导航答案：B【反思归纳】在求解与抽象函数有关的不等式时，一般是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转
14、化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域返回导航考查角度 4：利用函数的单调性求参数值(或范围)函数 f(x)log2x2 016ax 在1，)上是增函数，则 a的取值范围是_返回导航解析：令 g(x)x2016ax，则 f(x)log2g(x)因为函数 ylog2x 为(0，)上的单调递增函数，又函数 f(x)log2x2016ax 在1，)上是增函数，所以，函数 g(x)在1，)上为单调递增函数；当 x1 时，g(x)0 恒成立由得当 x1，)时，g(x)1ax20 恒成立，故 ax2，而当 x1，)时，x21，所以 a1；由得，当 x1，)时，x2016ax0 恒成立，而由知，函数
15、 g(x)在1，)上为单调递增函数，所以 g(x)g(1)2017a，故不等式成立的条件是 2017a0，解得 a2017.所以1a2017，即 a 的取值范围是1,2017)返回导航【反思归纳】利用单调性求参数(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的返回导航考点四 确定函数的最值(值域)(1)若函数 f(x)1a1x在12，2 上的值域是12，2，则实数 a的值为_；(2)函数 y xx(x0)的最大值为_；(3)若 f(x)x2 x22x4的最小值与 g(
16、x)xa xa(a0)的最大值相等，则 a 的值为()(A)1 (B)2(C)2 (D)2 2返回导航解析：(1)因为函数 f(x)在区间12，2 上是增函数，值域为12，2，所以 f1212，f(2)2，即1a212，1a122，解得 a25.返回导航(2)令 t x则 t0，所以 ytt2t12214，结合图象知，当t12，即 x14时，ymax14.(3)f(x)在定义域2，)上是增函数，所以 f(x)的最小值 f(2)2，又 g(x)2axa xa在定义域a，)上是减函数，g(x)的最大值 g(a)2a，所以 2a2，a2.返回导航答案：(1)25(2)14(3)C【反思归纳】求函数最
17、值(值域)的常用方法及适用类型(1)单调性法：易确定单调性的函数，利用单调性法研究函数最值(值域)(2)图象法：能作出图象的函数，用图象法，观察其图象最高点、最低点，求出最值(值域)(3)基本不等式法：分子、分母其中一个为一次，一个为二次的函数结构以及两个变量(如 x，y)的函数，一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件，用基本不等式法求最值(值域)返回导航(4)导数法：若 f(x)是三次、分式以及含 ex，ln x，sin x，cos x 结构的函数且 f(x)可求，可用导数法求函数的最值(值域)(5)换元法：对解析式较复杂的函数，可通过换元转化为以上类型中的某种，再求解用换元法时，
18、一定要注意新“元”的范围返回导航返回导航复合函数的单调性问题 函数 f(x)x2x6的单调增区间为_错因：不先求 f(x)的定义域，误认为 ux2x6 的增区间就是 f(x)的增区间警示：求函数的单调区间，应该先求定义域，在定义域内寻找减区间、增区间；若增区间或减区间是间断的，要分开写，不能用“”合并联结解析：设 ux2x6x122254.令 ux2x60，得 f(x)的定义域为(，32，)，ux2x6x122254 是对称轴为 x12，开口向上的抛物线，故 u 在(，3上是减函数，在2，)上是增函数，而 y u在(0，)上是增函数，所以 f(x)的单调减区间为(，3，单调增区间为2，)返回导航答案：2，)返回导航课时作业 点击进入word.返回导航谢谢观看！
