1、2.1.1函数（一）变量与函数的概念学习目标1. 了解并掌握函数的概念和函数的要素，并会求一些简单函数的定义域和值域，注意搜集日常生活中的实例，整理与分析量与量之间的关系，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。2. 记录，了解函数模型的广泛应用，树立数学应用观点自主学习1. 变量的概念：在一个变化过程中，有两个变量x和y,如果给定了一个x值，相应的就确定唯一的一个y值，那么就称y是x的函数。 叫自变量， 叫因变量。例1、s=r2 其中r是 ，是 。 例2、 = 其中是 ，是 。2. 函数的概念：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x ，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与
2、它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数。记作：y=f(x) , xA。其中叫 。3. 定义域：函数中自变量x的允许取值范围例3、求下列函数的定义域： 1） 2） 3）f(x)=4、 函数的值域：如果自变量取值，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作：y=f(a), 或yx=a，所有的函数值构成的集合yy=f(x),x,叫做这个函数的值域。例4、求函数，在处的函数值和函数的值域。例5、已知函数f(x)=1,求f(0), f(-2), f(15)。5、 函数的三要素： 关于函数定义的理解： 定义域、对应关系是决定函数的二要素，是一个整体，值域由定义域、对应法则唯一确定；f(x)与f
3、(a)不同：f(x)表示“y是x的函数”;f(a)表示特定的函数值。常用f(a)表示函数y=f(x)当x=a时的函数值；f(x)是表示关于变量x的函数，又可以表示自变量x的对应函数值，是一个整体符号，不能分开.符号f可以看做是对”x”施加的某种运算步骤或指令.例如，f(x)=3x2，表示对x 施加“平方后再扩大3倍”的运算。函数还可以用g(x), F(x)来表示.函数的定义域是自变量x的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，解析式后如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的x的集合，如果函数是由几个部分组成，那么函数的定义域是使各部分有意义的交集，在研究实际问题时，函数的定义域要受
4、到实际意义的制约.例6 判断下列命题正确与否：1、函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应.2、函数的定义域和值域一定是无限集合.3、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定.4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素.5、对于不同的x , y的值也不同. 6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量.例7：求函数的解析式1）已知函数f(x)=，求f(x-1)。2）已知函数f(x-1)=，求f(x)。6、如何检验给定两个变量之间是否具有函数关系？ （1）定义域和对应法则是否给定；（2）根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值
5、y.7、区间的概念：设且ab， ，叫闭区间，记作： ，叫开区间 ，记作： 叫半开半闭区间，分别记作： 其中a与b叫做区间的 。例8、分别满足的全体实数的集合分别记作： ， ， 。注意：在数轴上表示区间时，属于这个区间端点的实数，用实心点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心点表示。8、相同函数：函数与函数之间只要定义域和对应法则都相同，就是同一函数. 定义域是函数的灵魂，而对应法则相当于骨骼。例9 下列各组式子是否表示同一函数？为什么？1） f(x)=，(t)=;2） ;3） ,;4） ,;例10 ：求下列函数的定义域： 1）； 2）； 3）已知函数f(x)=3x4的值域为10，5，则其定义域
6、为 小结：求函数的定义域，就是求使这个解析式有意义的自变量的取值的集合，一般转化为解不等式（或不等式组）例11： 求函数f(x)=3x1(x|)的值域。 例12：已知函数f(x)=(a,b为常数，且a)满足f(2)=1,方程f(x)=x有唯一解，求函数f(x)的解析式，并求ff(-3)的值。快乐体验 下列每对函数是否表示同一函数？（） （），（）. （2）（），（）（） （），（） 求下列函数的定义域，并用区间表示（） （）. （2）（）.（） （）. （4）f(x)3设（），则（）（）4. 当定义域是时，函数（）与（）表示同一函数。5、求函数的值域。6、设函数7、已知函数（）（） 当时，求（）（） 若（），求的值。8、（1）若函数f(x)的定义域为（1,2），求函数f(3x+1)的定义域；（2）若函数f（3x+1）的定义域为（1,2），求函数f(x)的定义域.9、设 f(x)=2x-3 g(x)=x2+2 则称 fg(x)（或gf(x)）为复合函数。 fg(x)=2(x2+2)-3=2x2+1 gf(x)=(2x-3)2+2=4x2-12x+11求复合函数ff(x)和gg(x)并指出这两个函数的自变量是什么?10、若函数的定义域为-1，1，求函数的定义域。
